J -.00*/ — 00*/ — OD
Concevons enfin que la densité f(x,y) ou /[x^y^z) se réduise à une expression de la forme
S , p* désignant deux fondions entières et homogènes de x , y ^ z ^ du premier et du second degré. Les intégrales (i) et (2) deviendront
(5) ^=fljlj^^^)'^dy'
Or ces dernières intégrales peuvent subir diverses transformations qui conduisent à def résultats dignes de remarque, et que je vais exposer dans les paragraphes suivants.
S 1 ,^ Sur la transformation do Cintégrale
dans laquelle ( , p * désignent des fonctions entières et homogènes de œ^ y, du
premier et du second degré.
Désignons par a, b , A , B ^ C des conatantes réelles dont les trois dernières soient ieUement choisies que le trinôme
(0 Ax' + Bj^ + ^Cxy
reste positif pour toutes les valeurs réelles possibles des variables x , y ; et considérons l'intégrale
(.) ^-fljlj^^'f)<^'^7'
S , p * étant deui fonctions de x^ y , z ^ déterminées par les formules
(3) l^ax + by,
(4) p = (^ar» + J5jr« + aO»y)^.
On pourra regarder les variables x , y comme propres à représenter des coordonnées rectangulaires» et leur substituer des coordonnées polaires p » r qui soient liées avec elles par les équations
(5) a? = rcosp» j^ = rsînp.
Gela posé, si Ton fait, pour abréger,
(6) tt = cosp , V = sinp ,
(7) P = aa4-*t;,
(8) Q = {Aù\ + jBv • + s Cuv) ^ ,
on Irouvefa
(9) i = Pr, p = <?r.
De plus , en vcrlu des ràgles connues » on devra , dans Tlntégrale (s) , remplacer le produit dxdj par rdpdr, et cette intégrale deviendra
(10) S^if^'^r^ {{Pr,Qr).rdrdp.
En comparant la formule (a) à la formule (lo) , on en conclura
Si Ton suppose en particulier .
on aura
P = eotp , Ç=i ,
et la formule
donnera
Supposons maintenant que» les conditions (i3) étant ^remplies , on attribue aux quan-tités a , b des valeurs a , p qui vérifient la formule
On pourra concevoir qu'aux coordonnées rectangulaires x , y on substitue deux autres coordonnées rectangulaires ( , » dont la première S serait déterminée par Té'quation
(18) i = ax + py,
et considérer a , p comme représentant les cosinus des angles formés par le demiaxe des ç positives avec les demi-axes des x et des jr positives. Alors on aura nécessairement
Par suite la seconde des formules (i4) donnera
(ao) p = {V+yi^)l
et Ton tirera de l'équation (s) t.*
s.*", en ayant égard à la formole (16} ,
(«1) S= / / ({rcoèppr)drdp.
On aura donc, en admettant que la condition (17) soit remplie ,
On trouvera de même, en désignant par k une nouvelle constante, et remplaçant f(Ç,p) par f(tÇ,p),
<•') fl^fljW'''^ + ^y^' t*" +7")' j d»«lr =S'Jf^^^''^^^P^ r)rdrdp. D'ailleurs» pour faire coïncider le premier membre de Téquation (9 5) avec l'intégrale
il suffira do choisir <t, p, k de manière à rérifier les formiiks
(a4) *a = «, kp=:b,
el alors l'éqoalion (17) donnera
(»5) ~îf^=''.
On satisfait à l'équation (aS) en prenant
Si , pour fixer les idées , od suppose
oft tirera des formules (s3) et (a4)
Celle dernière équalion subsiste , quelles que soient les Taleurs réelles attribuées aux constanles a, 6.
GonceTODs à présent que les coeflicients .A^B^C cessent de yérifier les conditions (i3). On aura évidemment
(»8) p. = ^«. + Fy4.,C«y = ^(a> + ^j.)*+-^^^^rV
D'autre part, le polynôme (i), qui est précisément égal à p*, devant rester positif pour toutes les valeurs réelles de x, jr, lo dernier membre de la formule. (96) jouira de la même propriété , d*ob II suit qu*on aura encore «
(29) A>o, AB^C*>o.
Cela posé, si Ton Tait, ppnr abréger,
le« nouvelles variables x , y seront réelles en même temps que ai , 7 , et la formule (28) donnera
Alors aussi, en remplaçant, dans Tînlégrale (2), a? par x, et y par y , on trouvera
(53) rS^^flJlj^^^f)'^^'^!' tandis que les formules (3i) donneront
De plus, on lirera des formules (3i)
(34) r-— y' ^=-;rr-iry)-
et par suite
(35) Ç = M? + ly = ax + by, les valeurs de a , b » c étant
puis on en conclara
(57) (a«+b»)^ = it.
la valeur de K étant
^'*> • -( IfiTc^ j-
Gela posé , la formule (33) , jointe à l'équation (37) , donnera *
= ^jjf^ f|(a» + b«)>cosp,r)|rrfrrf/).
ou , ce qui revient au même •
(39) 5 = — / / î{Krco%p^T)rdrdp.
En comparant cette dernière équation à la formule (lo) , on trouvera
(40) r^' r'^i(Pr,Qr)rdrdp = — f C"^ r{Krcosp,r)rdrdp ,
les valeurs de P, Q , n et K étant déterminées par les formules (6), (7), (8), (5o)
(9) SiVon ramplMe» dans la pNnii«rmaBilMm4e Té^Mlion (4o) t ' r par ~ , on en
tirera
puiÊp en posant , pour abréger , on trouvera
«'> /;v(^)-|-=^/;v(K-rt*.
Oa arriverait encore an même résultat , en prenant
ou bien
(45) f(ç,p)=«-PV(l).
etc Ainsi, par exemple, en adoptant la valeur de Hl»p) donnée par la formule
(44)9 on réduirait Téquation (4t) ^
puis t en dirisant les deux membres-par la quantité
OD retrouverait l'équalion (43).
Si, dans Téquation (43), on remet au lieu de P, (? , û , K leurs valeurs respectives , on obtiendra la formule
i/^ ^ ^j acosp-f^sinp i dp %/ o ' ' (^cos'p+Bsin'p+aCsinpcos^)' ) AcoB*p^B%\n*p^2Cs\npcosp i r^' ^j (Ja*^Bb*-^CaB)^cosp ) .
y\ ANIfiB. «
delaqnelle on peni en déduire piufieon anirat par des diflTérenciatioiit relatifes aux confiantes a , b , A 9 B , C. Si, dans la même formale , on pose
si de plus on diyise chacun do ses membres par a , on trouvera
«.) f '/{ — '-^ — A — '^ h- / 'A^ip'
et l'on en conclura, en prenant cosp = x ,
(49) / Vl ^-1 ! ï^ = -f^/Vf-^)^.
J -I l \{A-B)x-^BY ) {A^B)»-^B l/T^î A^B* ^ -» \^V l/TT' Enfin , si , dans Téquation (46) , on pose
(50) fi = C=i, elle donnera simplement
(6i) r^'f{acosp + bêïup)dp= n'fl{a* + b*yco$p^i^.
Les équations (46)» (48)* (49) ? (^0 paraissent dignes de remarque, et fournissent les moyens de transformer les unes dans les autres un grand nombre d'intégrales définies.
S a. Sur ta tranêformation de CifUégrale
dam taquellô S» p* déêigncnt deux fonctions eniières et homogènes de x, y^ s,
du premier et du second degré.
Désignons par a , b , c , A , B , C , D , E , F des constanles réelles dont les six dernières soient tellement choisies que le polynôme
(i) Ax^ + By^ + Cs! 4- aZ)^ + %Ezx + ^Fxy
reste positif pour tontes les valenrs réelles possibles des Tariables » » j , s ; et considérons rintégrale triple
S » p* étant deux fonctions déterminées par les formates
(3) \ = ax^by^et,
(4) p=(^«« + ^r* + Cs» + aI)ys+aJffx + aFdr)r)i.
On pourra regarder les variables x, y , z comme propres à représenter des coordonnées rectangulaires, et leur substituer des coordonnées polaires p , g j f* » qui soient liées avec elles par les équations
(5) x = rcosp, 7 = rsmpsinf, s = rsinpsin7. Gela posé, si l'on fait, pour abréger,
(6) tt = cos/9, v = sinpcosf, w:=:Binps\uq ,
(7) P = au + bv + ew ,
(8) Qz=z{Au* + 5v* + Cw^ + ^Dvw + %Ewu + « JPiiv)* , on trouvera
(9) ' i = Pr, 9 = Qr.
De pins, en vertu des règles connues, on devra, dans Tintégrale (9) , remplacer le produit dxdydz par r^èinpdrdqdpj et cette int^ale deviendra
(10) S = f'f*'f'^r{Pr,Qr)r^$mpdrdqdp.
En comparant la formule (a) à la formule (10) , on en conclura
(11) r* r* f"^ t(l,9)dmdyd3z=r Ç' Ç^'' f"^ {{Pr,Qr)r-tinpdrdqdp.
Si Ton suppose en particulier
(la) a=i, 6 = ii=:o,
(It)
el
(i5) A=zB = C=i, /) = iï = F=:o,
on aura
(i5) P = cofp, Q=i,
et la formule (ii) doDDera
(16) r^ y^ J^ f|aj,(«*+^*+a«ndbrfy<fc==««/^'y* f(rco«/[>,r)r«sînprfrrfp.
Supposons maintenant que, les conditions (i5) étant remplies, on sftribue aus quantités a ^ b , e des valeurs a , p , 7 qui vérifient la formule
On* pourra concevoir qu'aux coordonnées rectangulaires 0 » j . 2 on substitue trob autres coordonnées rectangulaires S , ^ » ( • dont la première ç soit déterminée par Téquation
(18) Ç = «« + Py + 7f,
et considérer a , p , 7 comme représentant les cosinus des angles formés par le demiaxe des i positives avec les demi-axes des m» y, z poaitives. Alors on aura nécessairement
Par suite la seconde des formules (i4] donnera
et l'on tirera de Téquation (9) k*
a.% en ayant égard à la formule (16) ,
(ai) S=^n I p {{rço$p9r)r*smpdrdp.
On aura donc» en admettant que la condition (17) soit remplie.
(iS)
/J^/^^XT^f |«» + Pr + 7*, («•- + 7* + *t'} <terfr<fo (««) { "* ^"^■" ■
= air / / {{rcotp,T).r*»\npdrdp.
On trouvera de mAme, en désignant par k une nouvelle «onstanle. et remplaçant f(ç,p) par fÇArS.p),
Î /*^/*^/*j{*(«» + pJ' + 7»). (œ*+^* + ?•)•) «terfyrfz ' D'aUleon , pour faire coiocider le premier menbre de i'éqoatioA (aS) aveo Tiotégrale
flo>flSlj {«« + *y + «*. («* +y • +*•)'} <*»''J'''* '
il suffira de choisir a , ^ , i , k de manière à vérifier les formules
et alors Téquation (17) donnera
On salisfail à Téquation (aS) en {Prenant "^
* = dt;(a* + 6« + c«)^
Si, pour fixer les idées, on suppose
(«6) Aî=(a*4.6«4.«»)*,
on tirera des formules (aS) et (a4)
= *'f'f i\(a\-^h* '^e*)'rcMp,r\r*»npdirdp.
( 14) Cette dernière équation subsiste , quelles que toient les Talenrs réelles attribuées aux constantes a » b , e.
Concevons à présent que les coelBcients A , B , C , D , E , F cessent de vérifier les conditions (i3). On aura évidemment
Ax^ + By 4- C»» + a Z)y» + s^Esœ + aFoy
et
(AB — F*)y*^i{Ali^EF)yz-^{AC — E*)t*
Par suite, Téquation qui détermine la valeur de p*» savoir,
(a8) p* = Ax* + By* + Cz^'\-%Ify9 + 9Ezx + % Fœy ,
pourra être présentée sous la forme
les valeurs do G . H , l étant
,- , r. j u AB'F^ . ABC'AD*'BE*'CF*^DEF
JB'F*
D*autre part, le polynôme (i), qui est précisément ^1 à p*, devant rester positif pour toutes les valeurs réelles de x, y, z , on aura nécessairement
ou, ce qui revient au même,
(3a) A>o, AB — F*>o, ABC — AD^ — BE* — CF« + « DE F > o .
Cela posé , si Ton prend
( i5) les nouvellet variibles x # y » i seronl réelles en même temps que x, y, z , et la râleur positive de p , déduite de la formule (99) , sera
Alors aussi, en remplaçant, dans l'intégrale (9)» x par x , y par y, z .par z , on
trouvera
(55) 5 = !-/ / / f(ç.p)rfxrfyd«,
attendu que les formules (33) donneront
cte = — r» ay = — r» cfa=— ^.
Donc, en faisant , pour abréger a = (C^i?/) ' , ou , ce qui revient au même ,
(36) ii = {ABC — AD*^BE* — CF* + uDEF)K
on aura encore
De plus on tirera des formules (33)
z y AD-EF z x F y ^ FD-BE z (38) z=—. y = ^ T. aî = — r ^+
et par suite
(59) Ç = <M?4-Aj^ + w=:ax + by4-cz,
les valeurs de a , b , c étant
// X » u * ^JL ^ \ » ^ AD'EF ^ . FD-BE \
puis on en conclura
(4i) (a«+b- + c>)^ = iSC,
la valeur de K étant
{BC-D*)a'+{CJ-E')b*+{AB-F*)c'+a{EF-JD)bc+2{FD-BE) ca + a {DE-CF) ab
JBC-JD*-DE'"CF*+^DEF
(16) Enfin l'on tirera de fofflvmuie (57) , JehiM «Méqmtioaa ((9) , (34) «t {tj)»
5=—/" r" r" f ier+fcy + «i.(x' + y + i«)Mrf«rfyrfx
a «/ — 00^ — <e «/ — OD ( J
= ii. r'r" f j (a» + b* + c»)>C08/»,r j r»«Bp<fr(^ ,
ou , ce qui revient au même ,
(43) S=-^ C' r'^I{KrcoBp,r)r*Êiap(hép.
Or, CD comparant cette dernière équation à la formule (10) , on trourera
les valeurs de P, Q 9 a et K élant déterminées par les formules (6) , (7) , (8) , (36) cl (4a).
Si Ton remplace , dans le premier membre de l'équation (44) » r par —, on en lirera
puis» en posant, pour abréger,
(46) f^({Kr,r).r^dr = f{K) ,
on trouvera
On arriverail encore au même résultat en prenant
(48) Hl.,) = e'f/[j.) , OU bien
(49) .f(?,p) = «-P7(l.), etc....
( 17 ) Ainsi, par exemple » en adoptant la Talenr de f ((, p) donnée par la formule (49) » on rédoîrait l'ëqnation (45) à
s: sr s: '•'-'■ Ai) ^^^p^ = ^/;r '--/^s-..)^,**.
puis , en divisant les deux membres par la quantité
on retrourerait Inéquation (47).
Si , dans les formules (8) » (36) et (4a) , on suppose
\io) A = B = C=i, D = E=zF = o,
on trouvera
et Ton tirera de l'équation (47)» jointe à l'équation (7),
(5i) / I f{acoBp'¥bsmpcosq'¥OBinpBmq)dqdp=i^nJ /[(a»+6*+o*)'cosp]sinprfp.
Cette dernière formule a été donnée pour la première fois par M. Poisson dans un Mémoire lu à TAcadémie le 19 juillet 1819.
Si , dans les formules (7) , (8) , (36) et (4^) , on suppose
(Sa) b = c = o, B = C. D—C, D = E = F = o,
on trouvera
P = acosp , Q == {Aco$*p •+■ ^sin'p)' ,
et par suite Téquation (47) donnera
