V.- Anwéiî

( 54 ) les coordonnées x^ y, z an point de rencontre des ondes pltnes qui feront partie d*an même système , seront déterminées par l'équation (6) )ointe aux formules

. , ds ds dt

(..) *='^' y^*iî' *='Tc'

on par l'équation (g) jointe aux formules

, ., d$ de de

(.3) «=-«Âr' J'=-*;â' '="'iû'

suÎTant que les ondes dont il i*agit se propageront d*un côté nu d'un autre par rapport au pkn 0(y(f. De plus , comme » au bout du temps i » les formules ( i a) ou ( 1 3) suffiront pour fixer les valeurs de ^ % y % z % il est clair que ces formules devront entraîner l'équation (6) ou (g). Or c'est ce dont il est facile de s'assurer directement. En effet, si , dans la formule (lo) , on substitue les valeurs de ^ , JTL , e)'t> , 9 » ^ , <^ données par les équations (7), (8) du % i.**, on obtiendra pour F(a,6,c,«) une fonction homogène de a, b ^ e , $, Donc la formule (11) donnera pour s une fonction homogène de a , b , e^ du premier degré, en sorte qu'on aura identiquement

D'ailleurs, en ayant égard à l'équation (i4)» et combinant entre elles , par voie d'addition, les formules (la) et (i3) respectivement multipliées par a , 6 , e , on reproduit évidemment l'équation (6) ou (g).

11 est important d'observer que , $ étant une fonction homogène du premier degré

di de dt

on a , b , e j les dérivées "rr * Hh • T' seront des fonctions homogènes d'un degré

nul , ou , en d'autres termes, que ces dérivées dépendront uniquement des rapports — ,

— . Cela posé, concevons qu'entre les formules (la) ou (i3) on élimine les rapports

dont il s'agit. L'équation produite par cette élimination sera de la forme

et reprééènlera une certaine surface courbe, qui sera touchée, au bout du temps i , par les plans tracés de manière à diviser en parties égales les épaisseurs très-petites des

ondes ci-dessus mentionnées. Cette surface courbe sera donc Tenveloppe de l'espace Ira- Torsé par les plans dont il s'agit. Nous la jopiniiiprqiis^ pour abréger» surface des andef^

Si, au bout du temps t , l'on désigne par a\ b\ c' les cosinos des angles que forme le rayon recteior mené d^ l'origine à la surface des ondes» avec les demi «-axes dés coordonnées positives» et, par V' ce même rayon vecteur» les valeurs de os » j» s correspondantes à l'extrémité do rayon X' seront déterminées par la fonnule

(i6) x = a't'. 7=6'r^ z=ie'v\

Par suite l'équation (i5) donnera

(.7) "(«'£:. 6'Il.c'^) = o;

et l'on en déduira » pour t^ une valeur générale de la forme

(18) r = tw{a\b\e').

Dei^Cf le.temps venant à croître , le rayon jeteur t' eJ^oltr# proportionnellement, jiu temps» ou. en d'autres termes» la vitesse avec laquelle Tei^tréiaité du rayon X* se dér placera dans l'espace s^ra une vitesse constante, poi^r yn^ 4irwl6oa donnée de ce rayon » et la aurfiice des ondes acquerra des dimenifCMu de ploa en pliis grandes» aans: ceaser d*étre semblable à elle-mâpie.

H existe des relations dignes dé remarque entre la surface des ondes et celle dont les coordonnées x , y » z vérifient l'équation '

En effet » désignons par r le rayon vecteur mené de l'origine à cette dernière surface de manière h former » avec les demi-axes des coordonnées positives, les angles ^ » f^ » v » dont les cosinus sont a » 6 » e. Les coordonnées x » y » s de l'extrémité du rayon t étant liées à ce rayon par les formules

(ao) x = «r, y=6r, i=rr»

l'équation (ig) donnera

(ai) F(flr,^r,cr,0 = o,

ou » ce qui revient au même » attendu que ¥{x, y» t, t) est une fonction homogène de X, y, z, t.

(56) (»9) Pfa, 6,^,— j=o.

Or les divenet Taleurt de — déduites de l'équadon (ta) coïncideront évidemment

avec les diverses valeurs de s déduites de la formule (i i). D'autre pari» si , dans l'équation (6) ou (9) » qui représente le plan tangent à la surface des ondes » on pose

on trouvera

(«4) ax + bj + ez = zt:—.

Enfin il est dair que la formule (ai) représentera un plan mené perpendiculairement au

rayon vecteur X par un point situé sur ce rayon vecteur à la dislance — de l'origine

des coordonnées. On peut donc énoncer la proposition suivante.

s/ THÉoaftiiB. Canstruiêùt ta surface représentée par C équation (19) ,.rl» après avoir tnoné de Corigine à cette surface un rayon vecteur t , portez sur ce rayon vecteur, à partir de (origine » une langueur égale au rapport qui existe enttte le carré du temps et ce même rayon* Menez enfin par Cextrérifiité de cette longueur un plan perpendiculaire à sa direction. Ce plan sera le plan tangent à la surface des ondes. Par conséquent cette dernière surface sera Cenveloppc de C espace que traverseront les divers plans qu^ on peut construire en opérant comme on vient de le dire.

Nous observerons encore qu'en vertu des formules (16) et (90) l'équation (94) peut être réduite à

(aS) rr'(aa'4.66'4.cc'). = ±r,

ou bien à

(96) a?x4.7y4-«z = dbr.

D'ailleurs, si l'on nomme n l'angle compris entre les rayons vecteurs menés de l'origine à deux points correspondants {p^y^z) , (x.y^z) dos deux surfaces représentées par le^ équations (i5) et (19) 9 on aura

(î27) COSI = aa' 4- bb' + cc\

Donc Téquation (95) donnera

(28) rr'cosT=±t\

( «7 ) Or U résulte évidemment de la formule (98) qu'en multipliant les rayons vecteurs r et r^ par le cosinus de l'angle aigu compris entre eux, ou ; ce qui revient au même , le premier de ces rayons vecteurs par la projection du second sur le premier , on obtiendra toujours un produit égal au carré du temps.

La fonction ¥{a^b,e,ê) , déterminée par l'équation (10), est)lu sixième degré par rapport à s , et du troisième degré par rapport à «'• Donc^ la formule (11) fournira généralement trois valeurs de «*^ auxquelles répondront trois nappes différentes de la surface des ondes. Soit

Tune de ces valeurs. L*équation (19) donnera, pour t*, une valeur êdrrespbndante , savoir, ' .. »• ■ »

et </(x, y«z) sera une fonction homogène du second degré. De plus celle dés itàis nappes de la surface des ondes à laquelle se. rapportera la .valeur ^{a,b^c) de 5% sera l'enveloppe de l'espace que traverse le plan mobile dont les coordomiées x , f, z satisfont à l'équation (26) quapd on cofisidère x, y, z conune des paramètres variables assujétis à vérifier la condition (5o). Gela posé , faisons, pour abré^r,.

,5.).(..r..)=i^^S^.x(..y..)-|iî^.V(..j,.,=i.ii^.

Puisqu'on différenciant , par rapport aux paramètres x, y, z, les formules (s6), (3o), on obtiendra les suivantes ' r . .

(3a) xdx+j^rfy + »rfz = 0 i .

(33) *(x,y,«)irfit + x(x,y,'z)rfy4.V(x,y,z)dz = o,

. ' ' •' •■ ■ et qu'en égalant à zéro, dans. l'équation (33) , les coefiicienU des difl'érentielles dx , dj , après avoir éliminé dz k l'aide de la forinuïe (3a) « on trouvera

a> jr €. '

il est clair que l'équation de la nappe ci-dessus mentionnée sera fournie par l'élimination des paramètres x , y , z entre les formules (a6) , (3p} et (34). Gomme on aura d'ailleurs, en vertu du théorème des fonctions homogènes,

(35) ^♦(x,y,z)4.yx(x,y,z)+zY(x,y.z) = /(x,y,z),

on tirera de l'équation (34), joinle aux formules (a6) et (3o),

et par conséqueDt

Donc » poor obtenir l'équation de la nappe dont il s'agit , il suffira de substituer , dans la formule (3o)» les valeurs de x , y , z exprimées en fonctions de x, jr, z , à l'aide des formules (57) pu (58). Obserrons, au reste, q;^^ les fonctions homogènes /(x, y^ s), /(x,y»z,f) étant de degré pair, et les fonctions dérivées 9«(x,y»z), 9X(x,y»z), sY(x,y,z) de degré impair, les valeurs de x , y , z changeront de signe avec x , y , z j de sorte qu'on arrivera au même résultat en partant des équations ($7) ou des équations (38) , ot qu'on poorra réduire la formule (36) à la suivante

Pour montrer une application des principes que nous venons d^établir, supposons qu'en résolvant la formule (1 i)» on obtienne pour s* une valeur de la forme

(4o) a' = aa**4- b(* -4- Ce* -4- 9)61: -4- ^tea + ^(ab.

L'équation (3o) deviendra

(4i) r = ax» -h by 4. rz' + aïyz 4. «rzx 4. afxy;

et par suite les formules (57) donneroQl

(4») ax4.fy + rz = aB. fx + by 4.î>z=7, t\^ij + cz = z.

Or, en substituant, dans l'équation (40» ou plutôt dans la suivante

(43) r = xx+yj + zz,

les valeurs de x , y , z tirées des formules (49) , savoir,

(br-î>*)«+(ir-rf)j'+(fb-br)f

ttbr-aîr'-bf-rf«+aM

(i>r^cf)a^4-(ra,f«)y-f(rf-al>)s ttbr-oîr«-bf-rf*+9M

(fll.br)«+(rf-aîr)j+(ra.f*)»

âbc-ai«-bf-rf*+9Î>rf

on IroQvera

(br-lr«)a?»+(ca-jf')j'4-(ab-f«)srj'3(rf-^)y*'«-a(fï^-be)ftg4-a(^t-rf)ay

Telle e«l i'éqaalîon.qiM- représenlera onè nappe de la awrface des ondefe , si la valeur d^ «*, correspondanle à cette Dappe ;:esl doÉnéa par la torflMile?(4o)« Si réqmti€ir;(4i) ap-» partient à un ellipsoïde , la nappe représentée par l'équation (44) s^ra un second ellipsoïde, et les rayons vecteurs menés de KorigM^ à' deux polûts correspondants de ces ellipsofdes seront tellement liés entre eux que le produit de ces rayons vecteurs par Tangle aigu qu'ils comprennent sera égal au carré dii'Iemps. ' •-.:.>(

Si , fLups la forniule (4o), on substitue la valeui; de s tirée di^ rj^uatiop (6) eu {a\, on trouvera

(45) {aa* + bb* + Ce^ + %hbc+Uoa+2(ab)r=^{itai'^lty + lk)'/^^ ^

Or, au lieu d'éliminer z , y , x entre les formules (4i);^(49) , on pourrait étiminer a , b , c entre l'équation (45) et ses dérivées prises successivement par rapport à chacune des trois quantités a , b , e. En opérant ainsi, on obtiendrait Péqifiition ,^

qui coïncide effectivement avec la formule (44)*

Si la valeur de $*, déterminée par U formule ](4o) ^se réduisait à

(47) ê^ = aa* + bb* + tc\

l'équation (44) t qui représente, au bout du temps t , la surface de l'onde, deviendrait

Supposons maintenant que ^{a^b^e) désigne seulement une valeur approchée

(4o) de s*, et que Ton troure» en poussant plus loin rapproximation » ou mêofie en ne négligeant rien ,

(49) #« = /(a.6,o) + f(tf,6,i?).

Pour obtenir la nappe de la surface des ondes à laquelle correspondra la valeur précédente de $*, il fiiudra sobstiioer, non plus dans la formule (5o) » les valeurs de x » y , s fournies par les équatioDS (37) , mais dans la formule

(50) e« = /(x%y',0+fXx',y'.0les valeurs de x^ y^ z^ fournies par les équations

(5i) *Cx',y',0+?(i'»y'»0='» x(x',y',«')+x(t',y',0=j, i'K,y',0++(»%y'.«')=^

en faisant » pour abf^r .

(5.),(..y..)«Ai£(iipfI. ,(x.y..) = ±il(^. +(,.y..)=i.££(^.

Supposons maiot'eÀ'àiit que les quantités f(x,y»é) et x' — x, j' — y, z' — z étant considérées comme infiniment petites du premier ordre « on néglige les infiniment petits du second ordre. En ayant égard au théorème des fonctions homogènes , on tirera des équations (5i), respectivement multipliées par x^, j\ t\

(53) xx'+xj' + zt':=.^{x\j\z')+f{x'ft').

ou è très-peu près ,

(54) «iL'+yy' + *f' = /(x'.y',0 +f(x,y.«).

Comme on aura d'ailleurs , en vertu des formules (55) et (57) »

011 trouvera encore

=a[(x'-x)*(x,y,ï) + (y'.y)x(x,y,x)+(x'.z)Y(x3y,2)]+f(x,y,z) = a[a?(k^.x)+y(y'.y) + i(f'-2)] + r(x,y,zj,

ou » ce qui rcviçnt au même , . ^

(56) «(x'-x)+j(y'-y)+«(2'-ï)=-f(x»^z)' et par conséqaeDt

(57) xjL'+yy''{'Zz' = xt+yY + zz — ((x,j,z) = g{x,y.z)—({t,7.z). Gela posé , les formules (5o) et (53) donneront

Telle est Téquation qai représentera sans erreur sensible une nappe de )a surface àts ondes, cette nappe étant relative à la valeur de s* que détermine la formule (49)»

Au reste, les méthodes que nous venons d'indiquer comme propres à fournir les diverses nappes de la surface (i5) seraient évidemment applicables dans le cas même où l^oA désignerait par ^(a, b, c, ê) , non plus une fonction homogène du sixième degré, déterminée par l'équation (10)» mais une fonction homogène de degré quelconque.

Revenons maintenant à la formule (10). Cette formule se trouvera réduite à Téquatian (48) du S 1 •*'» si l'élasticité du système de molécules que Ton considère reste k même en tous sens autour d'un point quelconque. Par suite , les trois valeurs de s , représentées par 5^ s", t'*\ se réduiront è celles que déterminent les formules (49) du i*'^ savoir,

(60) s'"" = 3/î + /=(3iî-h/)(a* + 6'-4-c*).

Donc alors, quelle que soit la direction du plan 00f(y qui, au premief moment, divise en deux parties égales l'épaisseur d'une onde plane, la propagation du mouvement de chaque côté du plan OOtOf donnera seulement naissance k deux ondes planes dont les vitesses de propagation seront

(6ï) (fl + /)S (3fi + i)%

et la surface des ondes se réduira au système de deux surfaces sphériques qui seront , an bont du temps t , représentées par les équations

Alors aussi les fermolcs (i3), (45) et (46) dur g i.* donneront

Y*. AlfNÉB, * 6

D'ailleurs , si » dans la formule (64) » on pose «* = A + ^ « on en conclura

{aJ{, + byi\, + ce)^ = {aj(, + b^ + ce)={aA> + bMk'+ce)^ = o. et par conséquent

(65) a^^, + b\ih + ee==o,

attendu que les quantités a , b ^ e liées entre elles par la condition

ne peuvent s'évanouir simultanément. Si l'on pose , an contraire» <* = S/? -l- / , on tirera de la formule (64)

au c

oUr Dî) G «cil> + ^UJ> + ^G

et par suite

(66) ^=:ife=-g=± m'-^y-HG-) ^±,.

^ ' fl ^ c V^(«» + ^' + c»)

De plus» comme deux racines égales de réqualion (i i) correspondent à lu première des ondes planes ci-dessus mentionnées, cette onde plane pourra être considérée comme produite par la superposition de deuxautrc? ondes de même espèce» Cela posé, il résulte évidemment des formules (65) , (66) que les déplacements et les vitesses absolues des molécules se mesureront» dans la première onde, suivant des droites parallèles au plan OOCf^ et dans la deuxième onde, suivant dqs droites perpendiculaires au même plan.

Si la quantité / » c'est-a-dire la pression supportée par un plan quelconque dans l'état naturel s'évanouissait , les vitesses de propagation de la première et de la deuxième onde deviendraient respectivement

et la surface des ondes se réduirait au système des denx surfaces sphériques représentées par les équation»

5ii

En généraU lorsque de la formule (lo), combinée avec les formules (33) et (8) ou (58) et (36) du g i.**, on a déduit les trois râleurs de ê* relatives au cas où les coefficients

(70) 31, 0, «, ©, «♦ ^, ou G, H. I

des formules (7) ou (35) [$!»*'] s'évanouissent , il suffit évidemment d'ajouter à ces va> leurs le polynôme

(7O 3la* 4. 66* Hh €c» 4. 2ÎD6c + 9€ca + 9 Sab ,

ou

(7s) Ga* + Hb* + Ic%

pour trouver ce qu'elles deviennent dans le cas contraire. On sait d'ailleurs que les coefficients (70) représentent les projections algébriques des pressions supportées dans l'état naturel par des plans perpendiculaires aux axes coordonnés.

Supposons maintenant que l'élasticité du système reste la même en tous sens autour d'un axe quelconque parallèle à l'axe des z. Alors» en admettant que les pressions s'évanouissent dans l'état naturel y on tirera de la formule (lo)» jointe aux équations (40»

(42)du§I.-,

(ZRa^ + Rb* + Qc* — s*){Ra* + ZRb* ^Qc* -- s^XQa* + Qb^ + Nc* — s^) ''liQ*b*c*{ZRa*+Rb»'^Qc*''S*)''/iQ*c^a*{Ra*+ZRb*i'Qe*'S^)'^R*a*b*{Qa*^Qb*'^Ne*'S*)

+ i6Q*Ra*b*c\ D'autre part on aura identiquement

(5ila*4.il^«4-Çtf* — #*)(/l««4-5W4-<?^" — '•) — 4^'«»^* = (Ra^ + Rb^ + Qe^ -**)(3ila»+3/î^«4.<?c« — *0 >

et

(44) Donc, la formule (yS) poorant être rédaite k

(ila"+lt*»+Q««— «•)[(5il«»+5/?6»+Çc» — «•)(Ç««+Ç*i+iy<.» — »»)-4ÇV»(«»+A»)], réqoatioo (ii) se décoosposera ea deux antres, «avoir,

(75) fla»-|-fl6» + Qc« — «* = o, et

(76) (3Ra» + 3iî6» + Qc« — «')(Qa* + QA* + ^fl» — «')—4Q'«*(«* +*•)=<>.

Ajoutons que l'équation (76) , pouvant être présentée sous la forme

(0«* + Qt>' + Qc* — s*){iRa' -4- 5R6* 4. Ne* — «')

,[(iV-.Q)(3^Q)__4Q.]c»(a» + 6«) = o,

sera elle-même décomposable en deux autres , savoir ,

(78) Q(a»-|.6' + c')— s'^o et

(79) 3fl(a« + 6»)4-iVe' — «• = ©,

si les coefficients N , Q, R vérifient la condition

(8o> (^ Ç)(3fl Q) =4Q».

Alors on pourra prendre

et par suite les trois nappes de la surface des ondes se réduiront anx surfaces de la sphère représentée par l'équation

et des deux ellipsoïdes représentés par le» deux équations

Alors aussi , en posant saccessi?ement ê = s\ $ = $", s = ê^'\ on tirera des formules (i4)duSi.*

pub on conclura des équations (87), (88), (89), combinées avec les formules (90), (99)» (94) du § i.**^ que, dans trois ondes planes» parallèles à un même plan OOfC^y et dont les vitesses de propagation seront s>\ s", ê"\ les déplacements absolus des molécules se mesureront parallèlement aux trois droites représentées par les formules

(91) <MD-|-6jr = o, î = OÎ

X ilî,'

cQ'

ac)l'+fc'»fi>' =

X" -Ift)'"

aÇ

Or il résulte des équations (91) que, dans les ondes planes dont la vitesse de propaga^ tion sera ê", les droites, suivant lesquelles ^c mesureront les déplacements des molé^ cules» resteront toujours parallèles au plan 00* (y et perpendiculaires à Taxe des z. An contraire, il suit des fomules (90) et {99) que, dans les ondes planes dont les vi* tesaes de propagation seront ê" et «^^ les droites, suivant lesquelles se mesureront les déplacements des molécdea, resteront toujours comprises dans des plans parallèles à Taxe des t et perpendiculaires au plan 00^(y.

Si, la condition (80) étant vérifiée, ainsi que les conditions (^9) du § i.*', on no supposait pas les pressions nulles dans l'étal naturel, il faudrait aux formules (81) « (89), (83) substituer les suivantes

(93) *'• = (fl + «)(«' + 6 •) + (Ç + /)«% f

(95) *"" = (3^4- //)(«• + 6*) + (AT + /)c' ;

et par conséquenl les trois nappes de la surface des ondes coïncideraient avec le» surfaces des trois ellipsoïdes représentés pnr les équations

Quant aux déplacements absolus des molécules dans les ondes planes dont les vitesses de propagation seraient s\ s", $-'\ ils se mesureraient toujours suivant des droites parallèles à celles que rcprésenlent les formules (go) , (91) » (gs).

Il est important d'observer que la condition (80) se trouve remplie, en même temps que les conditions (45) du § i.*', dans le cas où Télaslicité du système que l'on considère csl la môme en tous sens autour d'un point quelconque. Alors aussi on a

et la formule (gs) » réduite à

^ ' abc

montre que, dans la troisième onde, les déplacements absolus des molécules se mesurent suivant des droites perpendiculaires au plan OOfO'* Ajoutons que» si la condition (99) Q'^^ P^^ rigoureusement mais sensiblement vérifiée» il en sera de même de la formule (100) » et que par suite les déplacements absolus des molécules dans la troisième onde se mesureront suivant des droites sensiblement, mais non exactement perpendiculaires au plan OO'Cf.

On pourrait demander si le cas où J'en suppose la condition (80) vérifiée » est le seul

(47) dans lequel les deux valeurs do «% fouraiei par réqualioo (76) , se réduisent à des fonctions rationnelles de a , 6 , cl* Pou» répondre à cette question , il suQira d'observer qu'on tire généralement de l'équation (76]

Or la valeur précédente de s* deviendra une fonction rationnelle de a y b ^ e ^ si la quantité comprise sur le radical est un carré parfait» ou, ce qui revient au môme, ai l'on a

(102) 8Ç« — (37? — Q)(;V — <?)==!= (3iî — Ç)(Ar Q);

et suivant qu'on réduira le double signe db au signe -(• ou au signe — , la formule (109) reproduira la condition (80), ou la suivante

(io5) <? = o!

Donc, si le coefficient Q n'e.4 pas nul , l'équntion (76) ne pourra fournir une valeur rationnelle de a^^ à moins que 1rs trois quantités Q , A , /V ne satisfassent h In condition (80) • Remarquons d'ailleurs que, si, les pressions étant nulles dans l'état naturel du système que l'on considère, lu coefficient Q s'évanouissait, les valeurs de s* déterminées par les formules (75) , (7G) deviendraient

(io4) 8* = Ne% (io5) #« = //(a» + 6«), (106) j- = 37î(ii- + 6«).

Alors aussi les trois nappes do la surface des ondes disparaîtraient et se trouveraient remplacées par des points et des cercles. En effet , on tirerait des formules (37) ou (38) et (3o) , i .• en supposant /(x, y, t) = Nz %

«.• en supposant ^{n, y, a) = fi (x* + y ') ,

(4<) 5.* eo Mippotant ^{x,j,t) = 3A(x* 4>y*),

Donc p au bout du temps f , les ondes planes douées de la Yitesse de propagation

dtzN'c passeraient toutes par l'un des deux points situés sur Taxe des z à la distance

N»t de Torigine des coordonnées, tandis que les plans tracés de manière à difiser en

parties égales les épaisseurs des ondes douées de la Yitesse do propagation A* (a* +6*)*

fi «

ou 3 'A* (a' 4*^*)' toQcberaient les circonférences de cercles représentées par les

équations (io8) ou (log). Enfin Ton tirerait des formules (i4)» (40 ^^ (4^) du $ i.*'.