Ça' 4- Pfc* 4- iVc 4. a£/'éc 4- a>"ca4- ifT'ab î
$ = <7a» 4. V'b* + U'e* + a P6c 4-3 W'ea+ iV'ab » ^=if^a- + f^'b^+r'e^ +2fr'bc+iQea ^iDab, g{=fra*+ff"b^+fp"e' + irbe +»Vea +%Rab.
Soient maintenant OA une nouvelle droite menée par Tori^e » oDo, q)2>» 0 les cosinus des angles que forme cette-droite^ prolongée dans un certain sens OA, avec les demi-axes des coordonnées positives; et prenons
(9) On aura
De plut le rapport
ir = ,R,ç4-<ij}„4-GÇ.
.^• + ifi>* + ©•=«.
repràsentera éyidemment le cotinut de l'angle formé par la nouvelle droite avec la direction auiyant laquelle se mesure le déplacement absolu de la molécule m . Par conséquent la yaleur de v , déterminée par la formule (9) » représentera le déplacement de cette molécule mesuré parallèlement à la droite OA , et sera positiye si ce déplacement se compte dans le même sens que la direction OA » mais n^tiye dans le cas contraire. D'ailleurs , si Ton combine par yoie d'addition les formules (6) , après ayoir multiplié les deux membres de la première par Jlo , de la seconde par qQ> » de la
troisième par G » et si l'on choisit Jl , qf!> > O ou plutôt les rapports — — »— -
de manière que les trois fractions
4^ollo-i-«Aill>+^fe «AJt-f-Sîtqfc-hÇG ^c)l>-f-$qfi>-h«7l,G
<A, qfi, G
deviennent égales entre elles, on trouvera, en désignant par ê* la valeur commune de ces trois rapports ,
Or il existe troit valeurs de «* propres k vérifier la formule
j'ji.+^ifc+QG ^e*>+ait'ïfi>+$G ^jio+9^+sr(oe
et par conséquent les équations
( (-Ç-**).)!, + ^iJb + ^G =0 .
P ^el, + (5Tt — ••) ifl, + $G = o ,
( Se^+s^ifc + cins. — ••)G=o.
desquelles on tire
(,5) (^-*')(3TC- #')(.%-••) -3?«(^-«')- ^«(010- #«)-Jl»(0t-#»)+»^A=o;
D« plus k ces trois valeurs de «* correspondent (rois systèmes de valeurs pour le»
rapports -^ , -^, et par conséquent trois droites 0A\ 04\ OA'" avec les-
quelles on peut faire coïncider successivement la droite OA. Enfin il résulte de la forme des équations (i3) et (i4) que ces trois droites se confondent avec les trois ânes de la sarboe do second degré représentée par l'équation
et Ton peut ajouter que , dans le cas ob cette surface est un ellipsoïde, les trois valeurs
de — sont précisément les carrés des trob demi-axes. Donc» à l'aide de la formule
(la) » on pourra déterminer» au bout du temps i , les trois déplacements de la molécule tn mesurés parallèlement aux trois axes de l'ellipsoïde, et par suite, à trois droites perpendiculaires entre elles. Si l'on désigne ces trois déplacements par
(17) »% n\ M' et les valeurs correspondantes de « » <A> » ^ » G P^i*
(18) M\ <*>', ifi>', o'; s^ jtV ^\ G'} $'\ jt"', ^'\ G%
on pourra supposer que les quantités s^ $', $'" restent positives; et le déplacement lr^ déterminé en fonction de » et 1 par la formule
se mesurera dans une direction parallèle à celle de la droite OA' représentée par l'équation
De m6me le déplacement »', déterminé p«r la formule # .
dt* dv
se mesarera dans une direction parallèle k celle de la droite OA' -i^réMotée par l'équation
^"^ JU* ~ «UJ,* - G^'
GoQgle
( «4) et le déplacement - 9t''\ tléterimaé ptr la formule
dPit'
se mesurera dans une direction paràtlèlieà cèïie dé la droite OA'"' représentée par l'équation
y ySi>"'
Loraqa'kPaMe de»formttleé'(ig)/('«i).'(sS),'OBMira«ltfica(frl«»¥él0ur#de «'. «•, •*, oo^endéduirafacUemeot celles de $,»>(; et» pom[;]ç.patKMir.U.',tii|bsa,d« Mcoivir aux équations
desquelles on tirera
en ayant égard aux conditions
que vérifient nécessairement les cosinus <A>', a)î,', ©'; Jt', \lî>*, Q'i x'"* lft>'"» G'" des angles formés aiib les demi- axes' dcji bdBMcliititfes posi tires ' paf ttois^otret '«xes 0A\ OA't OA" qui se coupent à langles droits.
Observons encore que, si» au bout du temps t» l'on nomme w la vitesse absolue de la molécule m qui coïncide avec le point {x^y^t), les projections algébriques: de«MBiT>ll^^^<^ leaa»es coordooDéa seront , evvtrtu de o» qui a élé^t dads le troisième volume» page 166» respectivement égales à
dfç rf^ rf; dt * de^ dt
(■6) en sorte qu'on aura . .
Si , au Imu de projeter la fitesee t», Mr ietensdes io;,/ y» a , on la pn>)èle>«ar let droites OA' , OA', QA"\ op trourera pour projecliMM algéitriqDto, boq p)u8 les quantités (98) , mais les suirantes
et par cousâquent on auj^ |DDfiO|re
Il 8ujt4.e ce quk is| été dit dans le troisièmo volume [pages si5 et suiv.] qu'en divisant les coefficients. • -. , . .
(32) va» ^» «» ^» 0» ÎD; «» ÎD^ «
parla dieifiaiiéi"]bfîttire11e du système de molécules que Ton considère, on oblient pour quôlienWle's |^9J^*<^n8 algébriques des pressions ou tensions s^ppArtées daas Tétai aaturel, el.du'cfttè des coordonnées positives» par trois plans perpendiculaires aux axes
'-^\è»ê cb; jr;,.>.. Si ces pnssioAS ou lensious a*jivAaouisseot, oa poumi en dÎM Mitant
* • déiicojifficieoiis (62) , et les formules (7) se réduironl à
*(85y . , . I;31t = Ba* + Mb* + Pc- + al/'6o+ iVea + a fT'aA , . "\ .. , .( ^t, = Ça* + i>6» + iVe» + aU'k»4. »F'«a4- ? »"«* .
i iMvaleqrir^de. $,^,^ ^tant toujours »
DaiMi Id cas où Je .«système 4^ moléjqulçs propoié oflûre ixov^ ajEfi# d!^af||^d|é rçy^ftii^gulaires entre euxvet respectivement parallèles aux axes des a?» /» s» lot ç<)<;(%i^ts
(«6.) (54) jD. «» ^; O, V, W; U\ F\ W'i ^/^ v\ w
s'évanouÎMent; et, en écrivant G, H . l au lieu de :2l» 0t C> on réduit le* formulée (ii) de la page i3i du quatrième Tolume des jK««rcMia ao& fonmiiet ((8) dé la page 908 du troisième ▼olome. Alors aussi les équations (7) • (8) donnent simplement
/ 4^r=(L + C)a» + (i? + JSf)6'-f (Q + /)««,
(35) \3[L = (R^G)a- + {M+H)b* + {P^l)e\ \ at» = {Q + C)a» + (i>4.^)6'+(i^r4./)«-,
(36) 9 = tPbe, ^ = «<?«,... A = siï«fc.
Si de plos les preMÎons relatives à TéUt naturel «'évanouissent , ou aura
et les valeurs de ^ , 3^ , ^ se réduiront k
(58) : ^ M £«• 4Bk* + Q«', 3Tt = fla» + Mb* + Pe*. iHt. = <?a« + P6» + iVc',
Lorsque le STStènie proposé offre la même ^astioité ea tons sens autour d'un axe qae^ conque parallèle k l'axe des «, les coefficients G,H,P,Q,RtL,M vérifient les conditions (107) de la page 517 du quatrième volume, savoir
i.><ti.
Va
(89) G = H, P = Q, L = M = iR,
et les formules (S5) « (3$) deviennent
4^ = {5R + H)a'^{B + H)b'^{Q-\-I)o\ (4o) { 3rL - (il + ^a' + (5fl + /')*• + «? + /)«%
i>lî, = (Q 4. /i) (a» + 6') + (^ + /)«*. (4i) $ = aQ60, ^=«Qea, ^ = ai7afrr
Si de plus on suppose nulles k* pressions relatives k l'état naturel , les fôrnirie» {/^•) se réduiront k
EnGo, si le système proposé oflre'la môme élasticité en tous sens autour d'un point quelconque, on trouvera
(45) G = H = l, P = Q = B, L = M = N=zZR,
et, en ayant égard à l'équation
(44) a' + ^' + c'^ri, .
on tirera des formules (35) , (36)
(45) ^ = 2/îa« + iî + /, DrC — uBb* + B^I, Sf(:>z=%Bc* + R + 1 .
(4e) q!=^^Bbc. ^ = 2flca, ' S^=%Rabi
puis, en supposant les pressions nulles dans Tétai naturel., on réduira les équations (45) à
(47) ^ = 27?a> + 7?, 37L = 27?A« + iï. âTi = 2flo« + iî.
Lorsqu'on adopte les valeurs de ^ , OïL » Sf(o fournies par les équations (45)» (46) > la formule (i5) se réduit à
et par conséquent des trois valeurs de « généralement, représanlées .par «', «', $'" deux deviennent égales entre elles , en sorte qu'on peut prendre --% '(49) /• = ,•• = /? + /. *'''-= 3iî + /. '
Nous avons précédemment supposé, et nous supposerons généralement dans <;e qui va suivre que la surface représentée par l'équation (16) est un ellipsoïde. Or on peuM'upsurer qu'il en sera offcctivement ainsi, toutes les fois que, les valeurs de ^ , 3ïL , Sfdy étant déterminées pour les formules (35) , (36), Jes coefficients G, H ^ 1 seront positifs ou nuls , et les coefficients L , il , N , P, Q ^ R positifs. Alors en effet , l'équation (16) pouvant être présentée sous la forme
le polynôme, que renferme le premier membre, restera évidaomient. positif^ poujrcl/es
valeurs quelconques de œ^ y, z , et ne deviendra jamais nul » d'où il est aisé de conclure que la surface représentée par Téquation (16) n^ofinrâ pas de rayon vecteur inGni, ei sera un ellipsoïde. Il 7 a plus; on peut, dans tous les cas » présenter sous une forme très-simple les conditions qui doivent être remplies pour que la surface (iC) soit un ellipsoïde. En effet, si Ton nomme r le rayon vecteur mené, dans Tétat naturel du corps, de la molécule m à une molécnle voisine m , ^, p , y les angles formés par ce rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées positives , et mmf{r) Tattraction ou la répulsion mutuelle des deux masses m et m , on tirera des formules (7) et (8) , réunies aux équations (3) , (4) » (5) » (6) , (7) de la page iSo du quatrième volume ,
' (mr 1
4^ = S — (acosa4.6cosp-|-ocos7)*[cos*a/(r)±/'(r)l »
(5i) / »'>n:/===S^(acosa.f 6cos?-t-«cos7)'[cos*p/(r)± ,
et
D^irrS
— (acosa 4. 6cos|^ + ecosyy[c6$^yf{r) ±f (r)] | ,
mr
(acostt'^ bco$p '^ eeoBfyco$pcoBff{r)\ ,
^ = S I — (acosft + 6cosp + ocos7)*cos7COSfli/(r) j ,
A =îS{ — (aeosa4- 6cosp + ccos7)*cos«cosp/(r)
le signe S indiquant une somme de termes semblables, mais relatifs aux diverses IlK^ lécules m, m\..., le double signe db devant être réduit au signe + ou au signe -— , suivant que la masse m sera attirée ou reponssée par la molécule m • et la fonction f{r) étant déterminée en fonction de r par la formule
Gela posé» Féquation (16) deviendra
(54) SJ^ (rtcos«+*cosp+ocos7)l(xcos«+yoosp+«oos7)*/(r)±(x-+y'+x-)A»')]j^
Si maintenant ob feooHne # el t les angles que ferme le rayon vecteur r , i* avec ia perpendiculaire au plan représenté par Féquation ( 1 ) , a.* a vec le rayon vecteur i/x*+y«+x» mené de l'origine an point (x, y, t) , on trouvera
(«9.) (55) cmSz=zaco%a + bcoèp + cco9yM.
(06) cosT= ,^- — -L — — .
puis » en posant , pour abr^r»
(57) t=v^x>+y»+z»*, on tirera de la formule (56)
(58) xco»a + ycosp.+*c<>*7 = 1^<50ST.
Par suito là formule (16) ou (54) donnera
(Sg) r»s{^cw»*[cos»T/(r)±nr)]j = 1 ,
ou » ce qui revient au même»
SJ:ï:cos-*[co8«T/(r)dirW]j
Or la êurface représentée par la formule (16) sera im ditpsoide» ii le tapa imUeur r mené de Torigine à un point quelconque {xtj.z) de cette mfime surface conserve constamment une valeur réelle et finie , c'est-à-dire , en d'autres termes » si Ton a pour toutes les directions possibles de ce ra jon vecteur
(60 SJ^cos«*[cos-T/(r)±/^(r)]j>o.
S! Ton suppose que les pressions s'évanouissent dans l'état naturel » le polynôme
(6a) 3U- + fl6- + «c« + aîD6éy+2«ca + a^a6==s{d= — cos«#f(r)j
s'évanouira en même temps que les coeffieienU 21 , 0 , C , S^ , C » «/, el par con^^ séqoent ta condition (61^ se trouvera réduite à
(65) S {-^ cos-*cos*T/(4J > 0.
S 2. Propagation des ondes planée dam un système de molécules sollisilées par des forets d'attraction ou de répulsion mutueltc. Surface des ondes.
Concevons que les yaleurs initiales des déplacements et des vitesses de la molécule m mesurés parallèlement aux axes , c'esl-à-dire , les valeurs initiales des quantités
. ^ di dn dti
^' "' ^' dF' Tt' 17
soient connues et représentées par certaines fonctions do v. On en déduira sans peine les valeurs initiales des quantités
fff.
du' dH\ dn'"
dt ' dt ' fit •
el dès lors on pourra Aicilcmcnt déterminer les fondions arbitraires introduites par l'intcgralion des équations aux difl*éreucos partielles (ig) , (si) , (sS) , du § i.** Or ces trois équalions sont loulos renfermées dans la formule (i,s) [^ !•*']» de laquelle on les tire en attribuant successivement & s les trois valeurs particulières s\ s", s*'\ D'ailleurs»
si Ton désigno' par ./ô(0 » fiif) ^ valeurs initiales de « et de -^ , la valeur générale de « f donnée pàt* la formule (is) [^ i.^'îf sera
Cela posé, concevons qu'au premier instant «^ et — n'aient de valeurs sensibles que dans le voisinage du plan représenté par Téquation (i) du § l.*^ ou
«et que '. fo{^) ^ f,(t)'' s'évanouissent, par exempk, pour toutes les valeurs de % siiaé'es hors des limites '»■ • •' ' *' •■i *
i désignant une longueur très-petite. Il est clair qu'au bout du temps t , les fonctions
A(^ — «0. fi(^— *0
(5t) s'éfanottiroQl pour toutes le« râleurs db v situées hors des limlies .. .
c^ést-à-dire, pour tous les points situés hors, de la couche très-mince dont Tépaisseur 9i sera difisée en parties égales par le plan que représentera Té^uation
(5) - v = rt, •
(6) ax + by + ezzszst; et les fonctions
pour toutes les valeura de v situées hors des limites
c'est-à-dire , pour toutes les valeurs de v situées hors' de la couche très-mince dont Té' paisseur ui sera divisée en deux parties égales par le plan que représentera Téquation
ou
(g) rtx + égr + c^zs — *t,
Doflcle déplacement v et la vitefse — » mesurés parallèlement à. la droite Oyf ,
s'évanouiront constammenl hors-d^s doux coochos ci^dessos mentionnées; et» cooiipo, au bout' du temps t , il existera deux couches de celte espèce pour chacune des .trois va* leurs de » désignée» par 9\M''^9t!'\ noija.xleyons en conclure que je. loonvement, qui n'était d'abord sensible que dans le voisinage du phia. OOCf représenté par l'équation (i) , se propagei^a dans l'espace de m^nièreà produire ait ondes planes indéfinies qui offriront toutes la Aiéme épaisseur si , et resteront comprises entre dos plans pa^ rallèles ù OOfOf. Ces ondes, considérées d^ux à -deux, auront des vitesses de propagation égalas p mais dirigées en sens contraires , savoir» dans le sens des ^ positives et ^daiia lé sens.dos t> négatives. De plu^^ ces vitesses , mesprées suivant une droite per-^ péndicniaire au plan QCTO!» po|ir trois pndesqiii se mouvront dans un même sens» se-* ront constantes en verlu de la formule (5) pu (8) » et respectivement égales aux trois va- -leurs de ê que détermine la formule (lâ) du § i.^» c'est-à-dire /aux quantités 8\ s'^ ê"\ Les points situés hors des ondes plnnos dont il s'agit seront en repos » puisque les valeurs de
' ' ' di ' '"sr» ^HT'
correspondantes à ces mêmes points, s'évanouiront. Mais , pour les points renfcroiës dans Tépaisseur d'une onde plane, l'un des trois déplacements »', v', ^'" et l'une des trois
dt' du" //»'" vitesses -r-- , , — - — cesseront de s'évanouir. Ainsi , en particulier, dans l'onde
ai ai Ut *
plane qui se propage avec la vitesse «^ le déplacement « ' mesuré parallèlement à
du^ la droite OA' acquerra une valeur différente de zéro, ainsi que la vitesse — — ; et,
comme les déplacements ou les vitesses mesurés parallèlement aux droites OA''^ OA"' continueront de s'évanouir^ on petjit affirmer que, dans l'intérieur de la même onde, le déplacement absolu et la vitesse absolue d'une molécule m seront dirigés suivant nne droite parallèle à l'axe 0A\ et représentés par les voleurs numériques des quantités
»', —j—' Pareillement, dans l'onde plane qui j»e propage avec la vitesse ê" ou s'^,
le déplacement absolu et la vitesse absolue d'une molécule seront dirigés suivant une
droite parallèle à Taxe OA' ou OA'", et rrprésculés par les valeurs numériques de
. du' , ,,, If»'"
ou do »
- ^ dt — ■ ^i
Eu résumant ce qui précède, on obtient la proposition suivante.
TuÉOB&MB 1.*' Si, dans un corps homogène, les dépÇacûments tt Us vitesses des molécules sont nulles au premier instant , pour tous les points situés hors d^une couche plane très-mince dont C épaisseur 2 i est divisée en deux parties égales par un certain plan OO'O'p et restent les mêmes potir tous les points de la couche qui se trouvent situés à la même distance{le ce plan, la propagationdu mouvement , de cliaque côté du plan Oi/O^^ donnera généralemmt naêssameô à trois ondes rônfiiruUe0 entre dfii plans paraUèla. Chacune de ces ondes offrirst une épaisseur égalée -«î* De phu, les vùesses éejnv^ pagaiion des trois ondes^ mesurées suivant une perpendiculaireMU plan O OfO^^ seront const^nues et respectivement égales aux quotients qu^on obtient en divisant Vunii4 par lu d^fmt^BBes de Vellipmndeqtm représente la formule (iC) dti $ u" Enfin les déplacements absolus ainsi qme Us vitesses absolues des molécules dans les trois ondes ee mesureront suivant trois direetions respectivmnent parallèles aux trois ^uoss de Fellipsoidc.
Le théorème i.** 'suppose 'que la surface représentée par l'éqvNttoa {%6) du $ u^ est un ellipsoïde. Si la même équation devenait propre h représenter un système de doux hyperbololdes conjugués , 00 si elle ne pouvait plus être vérifiée par 4les valeurs réelles de X p y , ^ , quelques-unes îles trois vitesses de propagation t^ f^, s'"^ on même ces trois vitesses h la fois deviendraient imaginaires; et, dans4e dernier oas, la propagation des ondc^ planes deWendraît impossible.
Si deux ou trois axes do l'ellipsoïde ci-dessus mentionné devenaient égaux , les ondes planes qui se propageraient dans le -mémo sens, avec des vitesses réciproquement proportionnelles il CCS axes, coïncideraient, et la vitesse absolue de chaque molécule renfermée
dans ane onde plane serait • au bout d*un temps quelconque » parallèle au:i droites sniyant lesquelles les yitesses initiales se projetaient sur le plan mené par les deux axes égaux de Tellipsolde» ou même, si l'ellipsoïde se changeait en une sphère^ aux directions de ces vitesses initiales.
Concevons maintenant qu'au premier instant plusieurs endos planes» peu inclinées les unes sur les autres , et sur un certain plan OOK/t se rencontrent et se superposent en un certain point O. Le temps venant à croître, chacune de ces ondes se propagera dans l'espace , en donnant naissance » de chaque côté du plan qui divisait primitivement l'épaisseur de l'onde en parties égales , à trois ondes semblables renfermées entre des plans parallèles » mais douées de vitesses de propagation différentes. Par conséquent » le système d'ondes planes que l'on considérait au premier instant se subdivisera en trois autres systèmes , et le point de rencontre des ondes qui feront partie d'un même système se déplacera suivant une certaine droite, avec une vitesse de propagation distitibte de celle des ondes planes. Soient x ^ y ^ z les coordonnées de ce point de rencontre, et faisons-, pour abréger»
(lo) F(<i,6.c,*) =
Pour calculer» au bout du temps t » les valeurs de x ^ y ^ z ^ on devra » dans l'équation (6) ou (g) , considérer $ comme une fonction de a»b^e déterminée par la formule (i5) du § i.**» ou » ce qui revient âù même» par la suivante
et joindre à l'équation (6) ou (g) celles qu'on en déduit en attribuant aux trois paramètres a , 6 , c, on seulement à l'un d'entre eux» des accroissements infiniment petits \ Donc
* Dans le« fonnalep (6) ou (9) et (11) , les trois paramètre a » 6 , e» étant les cosioas des angltt compfb entre une certaine droite et les demi-axes des coordonnées positiTes , sont liés entre tni par Té^natioa
Mail on doit obserrer qne le plan représenté par l'éqnation (6) on (9) ne se déplaeera point si les Taleon a^ h, c , f varient dans nn même rapport» et qn'alora ces Talenrs continoeront de satîsfidra à la formule (1 1)» en cessant de Térifier la condition
Il en résulte qu'en prenant pour i une fonction de a» 6» e déterminée par la formule (11) j on peut^ dans
l'équation (6) ou (9), supposer les trois paramètres a , 5 , e Indépendants l'un de l'autre. Dans cette hypothèse
ds dis ds onétablitfacilement les formule» (1 a) ou (iS); et, comme 'JZ* "JT* ZT" *^^^ des fonctions homogènes de
m, by e d'un degré nul » il est clair que ces formules déterminent les rapports — , -=^ , — en fonctions
«les rapports — , — , quelle que soit la Taleur du trinôme «• «f 6 * H- e't p«r conséquent^ dan» le cas où ce trinôme même se réduit à l'unité.
