CA-E^){AB-F^) + {AB^P-){B€ - D^) + {B€ ^ D^{€A ^ B

( {AD — ZTF)' + {BE^FDy + [CF-^^DEy.

Les règles que nous venons d'établir s'étendent «a cas même où, les quantités A < K— «A: étant différentes de zéro, chacune des équations (5i), (56) offrirait deux c trois racines égales. Seulement alors l'ellipsoïde et l'hyperboloïde à une ou à deux napp( se réduiraient à des surfaces de révolution , ou même à une sphère [voyez les pages s el 21]. Ajoutons que l'équation (âi) offrira deux racines égales, si l'on a|

[voyez la page 1 1] » et trois racines égales » si 1 on a

Si , A n'étant pas nulle, la différence K-^k s'éranouissait , en sorte qu'on eût à la fois

la formule (5â) donnerait

et par conséquent Téquation (1), étant vérifiée par les valeurs de ?,»»,? tirées des formules (4g) » ne pourrait représenter qu'une surface dont le centre serait unique et situé sur' cette même surface. Donc la surface (1) serait nécessairement un cône qui aurait pour sommet le point (Ç» >}» 0 ' et qui pourrait se réduire à ce point. Dans la même hypothèse» il suffirait d'attribuer à plusieurs ou même à une seule des quantités A^BpC^DpEfF^G^Htl des accroissements infiniment petits, pour transformer l'équation (1) en une équation du même genre, dont les coefGcients ne vérifieraient plus la seconde des conditions (7a) , et par conséquent en une équation propre à représenter un ellipsoïde réel ou imaginaire , ou un byperboloïde. Alors l'ordonnée de la sur&ce conique ou la valeur de z tirée de l'équation (i) pourrait être considérée comme la limite vers laquelle convergerait la valeur de z tirée de la nouvelle équation. D'ailleurs la seconde valeur de z représentera l'ordonnée d'un ellipsoïde imaginaire 00 d'un ellipsoïde réel, mais dont les axes seront infiniment petits, et deviendra par conséquent imaginaire pour toutes les valeurs de x ^ y qui ne seront pas sensiblement égales aux coordonnées S , 4 du centre de l'ellipsoïde, si les conditions (67) sont vérifiées; tandis que, dans le cas contraire, elle représentera l'ordonnée d*un hyperholoïde , et ne cessera jamais d*être réelle. Donc la limite vers laquelle convergera cette seconde valeur de z , ou Tordonnée de la surface (1) sera elle-même, pour des valeurs de ce et de j^ distinctes de Ç et de ^ , toujours réelle ou toujours imaginaire, suivant que les conditions (67) seront ou ne seront pas satisfaites; et la surface conique , constamment réelle dans le second cas, se réduira» dans le premier cas, à un point unique.

GoBcevons'à présent que la condition b4) A = o

( 96 ) soit satisfaite. L'équation (9) offrira une racine nulle , et n'en oflrira qu'une de eel espèce, si l'on n*a pas en même temps [voyez la page 18]

Alors aax deux autres racines de Téquation (9) , 8uivaii| qu'elles seront égales ou in gales , correspondront deux directions principales ou une infinité de directions prini pales parallèles k une même droite. Quant à la racine nulle » elle ne fournira auci plan principal^ si les angles a » P » 7 » que la direction principale correspondante fon avec les demi-axes des coordonnées positives, ne vérifient pas la condition (iS); tanc que , dans le cas contraire , tous les plans perpendiculaires à la direction dont il s'aj seront encore des plans principaux. Enfin » si Téquation (9) a deux racines nulles , 01 en d'autres termes» si les conditions (76) sont vérifiées» la troisième racine de l*équ tion (9) fournira un plan principal dont la position sera complètement déterminée. Da le même cas, si les équations (16) et (17) sont distinctes Tune de l'autre» les racin nulles fourniront une infinité de plans principaux perpendiculaires à la droite représent par ces équations; mais» si les équations (16) et (17) se réduisent è une seule, elles r présenteront un plan unique » et tous les plans qui lui seront perpendiculaires sero autant de plans principaux. Il suit évidemment de ces diverses remarques que les su faces qui pourront être représentées par l'équation (1)» dans le cas où la conditii (74) se trouvera satisfaite » seront nécessairement un paraboloide elliptique ou hyperb lique » si l'équation (9) offre une racine nulle correspondante à des angles a » p » 7 q ne vérifient pas la condition (i3) , et deux autres racines inégales; un paraboloide < révolution » si l'équation (9) offre une racine nulle correspondante & des angles qui i vérifient pas la condition (i3), et deux autres racines égales entre elles; un cylind elliptique ou hyperbolique» qui pourra devenir un cylindre droit à base circulaire» ou réduire à un système de deux plans non parallèles » si l'équation (9) offre une raci nulle correspondante à des angles qui vérifient la condition (i3) » et deux autres racin inégales ou égales; un cylindre parabolique» si l'équation (9) offre deux racines mill déterminées, et si, en même temps» les équations (16) , (17) sont distinctes Tune* l'autre; enfin un système de deux plans parallèles » si l'équation (9) offre deux racin nulles» et si» en même temps» les formules (16)» (17) se réduisent à une seule. Pan ces surfaces» les seules qui ne soient pas dépourvues de centre seront le cylindre elli] tique ou hyperbolique » et le système de deux plans parallèles ou non parallèles; c'es à-dire» les surfaces qu'on obtiendra lorsque l'équation (9) ayant une racine nulle» 1 valeurs correspondantes de a » p » .7 vérifieront la formule (i3) » ou lorsque» l'équ tion (9) ayant deux racines nulles , les diverses valeurs de a » p » 7 correspondant Il ces racines» c'est-à-dire» les diverses valeurs propres à vérifier les formules (7) et (1

Digitfëed by

( 97 ) rendront identique Téquation (i3). Il est d'ailleurs facile de s'assurer directement que» dans le cas où toutes les valeurs de a » ^ » 7 , déduites des formules (8) à l'aide de la supposition «==0, vérifient encore la formule (i3)» la surface représentée par réquation (1) offre une infinité de centres situés sur un axe ou sur un plan parallèle au plan que représente l'équation (17). En efiet» supposons d'abord que» parmi les trois équations

(76) * Acosa+Fco$P'^Ecosy=:Of Fcosai>BcosP'¥Dcosy=zOj £oosa+Dco8p+Ccos7=o,

il 7 en ait deux» par exemple , les deux premières » qui soient distinctes l'une de l'autre ; on aura nécessairement

Car , si la condition

(78) AB — F* = o

M trouvait remplie , en désignant par p la valeur commune des deux rapports

on tirerait des deux premières équations (7O)

et, pour que les râleurs de cosa , cos^ , cos^ , déterminées par les formules (79) ou (80) , fassent propres à yérifler la troisième des équations (76) , il faudrait que l'on eût

ejicore — =:p, et par suite

Mail alors les deux premières des équations (76) cesseraient d'être , comme on l'a supposé • distinctes l'une de l'autre. De plus » la condition (78) n'étant pas remplie » on tirera des deux premières équations (76) , combinées avec la formule (7) , des valeurs déterminées de cosa , cos^ » C0S7 , savoir celles que fournira la formule

lUo^ANNàB. iS

cosa -|-p cosp = 0 ,