AB-F- ^"•" AB-F- ' ""^ AB^F- ^"•" AB-F

et que ces valeurs , substituées dans la troisième des équations (48), la vérifieront quelle que soit (. Donc alors il existera une droite unique et déterminée» dont les coordonnées i p n M i satisferont aux trois équations (48) ; d'oii il résulte qu'elle sera comprise dans les divers plans diamétraux représentés par la formule (5) » ainsi que dans les plans principaux correspondants à celles des racines de l'équation (9) qui difl^reront de zéro. Ajoutons 1 .^ que la même droite sera perpendiculaire en chacun de ses points à l'un des plans principaux et parallèles entre eux qui correspondront à la racine nulle de l'équation (9) ; s.^ que les plans principaux qui passeront par cette droite» réduits à deux plans déterminés» si l'équation (9) n'a pas de racines égales» et pris deux à deux dans le cas contraire, seront perpendiculaires l'un à Taulrc. Donc chaque point de la droite dont il s'agit» étant le point d'intersection de trois plans principaux et rectangulaires» sera un centre do la surface représentée par l'équation (i).

Supposons maintenant que chacune des équations (76) se confonde avec les deux autres» et que toutes les valeurs de cosa» cos^ » cosy propres à vérifier Tune d'entre elles avec la formule (7) vérifient encore l'équation (i3). On aura nécessairement

el par suite les trois équations (48) se réduiront à une seule qui représentera un pian déterminé» arec lajfOdl colaeideront tous it» pkrns dlamétraui rteprésentéd par la formule (5). De pIoBy ce plan étant parallèle à celui que détermiae la formule (16) ou (17)» et par conséquent à toutes les directions principales correspondantes aux deux racines nulles de Téquation (g) » coupera certainement à angles droits la direction principale correspondante à la troisième racine» et sera un plan principal. Enfin» comme tous les plans qui seront perpendiculaires à celui-ci couperont à angles droits des directions principales correspondantes aux racines nulles, ils seront encore des plans principaux. Cela posé» il est clair que tout point du plan représenté par Tune des équations (48) sera le point d'intersection de trois plans principaux perpendiculaires l'un à l'autre » et par suite un centre de la surface (i).

Il importe d*obser?er que» dans tous les cas ob la surface (1) offrira une infinité de centres» ks coordonnées de ces divers centres» étant substituées dans l'équation (Ss) , fourniront une valeur unique de la constante k* En effet, supposons d^abord que» deux des équations (76) » par exemple » les deux premières étant distinctes l'une de l'autre , on en déduise des valeurs de cosa » cosp » CO87 propres à vérifier la formule (i3). Alors la condition (77) sera remplie» c'est-à-dire» que AB-^F^ différera de zéro; puis» en combinant l'équation (5s) avec les formules (85)» et ayant égard à la condition (84) , on trouvera » quelle que soit "^ ( »

^ jiH^-2FGH+BG^

En d'autres termes » on aura

la valeur de hi étant celle que détermine la formule (66). On trouverait de même» en supposant la troisième des équations (76) distincte de la première ou de la seconde »

A = /f, , ou k=:kt ,

Donc» si» la surface (1) ayant une infinité de centres » les équations (76) ne se réduisent pas à une seule» la formule (52) donnera généralement

les valeurs de /r, » k^ , A3 étant celles que déterminent les équations (64) » (65) » (66). On auca donc nécessairement» dans celte hypothèse» l'équation de condition

(88) *,=*.=. As,

ou

BI*''2DHI'¥CH* C0^'%EIG-AI^ AB^-^GB-i-BG'

(*9) D*'BC E^-CJ ~ F-^AB

Seulement, si Tune des différences