BC^D\ CA^E\ AB^F

Tenait à s*évanouir» l'une des quantités A:, , A, . k^ se présenterait sous la forme — •

Supposons» en second lieu , les équations (76) réduites & une seule qui s'accorde arec l'équation (i3). Les conditions (86) seront yérifiée»» et la surface (1) ne pourra être qu'un système de deux plans parallèles à un troisième plan qui , étant le lieu des centres, sera représenté par chacune des équations (48). Or on tirera de ces dernières équations, en ayant égard aux conditions (86) ,

G% ff% /a

(9.) cç + ^„ + /ç = ^=:».=^,

et par suite la formule (9s) donnera

quelles que soient les coordonnées Ç 9 n » qui pourront rester arbitraires. Alors aussi les coefficients A, B^ C, Z>, E, F, G, H, I yérifieront nécessairement l'équation de condition

Lorsque la surface (1) représente un cylindre elliptique réduit h ses axes, ou un cylindre hyperbolique réduit au système de deux plans qui se coupent , ou un système de deux plans parallèles réduits à un seul plan , les valeurs de Ç , ^ , ( propres à yérifier les formules (48) satisfont nécessairement à l'équation (1) , et par suite la valeur de k^ déterminée par la formule (87) ou (92), vérifie la seconde des conditions (79).

Observons encore que, si, la quantité à étant nulle, la surface (1) est dépourvue de centres , cette surface sera toujours réelle. En effet , supposons d'abord qu^une seule des racines de l'équation (9) s'évanouisse, et que les valeurs correspondantes de cota, cos^ » COS7, déterminées par les formuljss (76), ne vérifient pas l'équation (i3). Si, par un point (S, «i, () choisi arbitrairement , on mène une droite qui , prolong;ée dans un certain sens , forme avec les demi-axes des coordonnées positives les angles « , ^ , 7 »

( »oi ) ni, si Ton nomme r la dUtance mesurée sur cette droite depuis le point (£,«)*() jusqu'à un point quelconque {x^y^ z) ^ on aura

(94) ^dL:=IlJL^JzL^±r;

ces a cosp COS7

le signe -f- ou — deyant être adopté , suivant que la distance r sera comptée dans un sens ou dans un autre. D'ailleurs, si l'on substitue dans l'équation (1) les valeurs de X , jr, z, tirées de la formule (94] » et si Ton observe que , dans le cas présent » la valeur de s déterminée par la première des formules (3) se réduit à zéro» on trouvera, en ayant égard aux équations (76) et à la seconde des équations (3) ,

(95) =h r(Gcosa 4- H cosp + Icosy) + ic = iSC , ou , ce qui revient au même »

Gcosa+ffcosp+/cos7

Or il est clair que, dans l'hypothèse admise, la formule (96) fournira une valeur réelle finie et positive de r , pourvu que l'on dispose du double signe de manière à rendre le second membre positif, c'est-à-dire, pourvu que Ton prolonge dans un sens conve-^ nable la droite menée par le point (£,)),()• Donc cette droite rencontrera toujours la surface (1) , qui sera nécessairement réelle. Nous savons d'ailleurs que cette surface ne pourra être qu'un paraboloïde elliptique ou hyperbolique.

Supposons en second lieu que deux racines de l'équation (9) s'évanouissent, mais que les divers systèmes de valeurs de cosa , cosp , COS7 , qui correspondent alors à ces deux racines, et qui sont en nombre infini, ne vérifient pas tous l'équation (i3). Si Ton emploie un de ces systèmes , la droite que détermine la formule (94) , rencontrera encore la surface (1) à une distance finie du point (S » 1 , () , toutes les fois que l'équation (1 3) ne sera pas vérifiée. Donc la surface (1) sera réelle. Nous savons d'ailleurs qu'elle ne pourra être qu'un cylindre parabolique.

Faisons voir maintenant comment on peut, en partant de Téquation (1) , distinguer le paraboloïde elliptique du paraboloïde hyperbolique , le cylindre elliptique réel ou imapnaire, ou réduit à son axe, du cylindre hyperbolique ou de deux plans qui se coupent, enfin le système de deux plans parallèles et réels ou un seul plan réel du système de deux plans imaginaires. Pour y parvenir, il suffira de substituer à Téquation (1) une autre équation du même genre , savoir, celle qu'on obtient quand on attribue aux coefficienis A^B^C^D^E^Ff ou à l'un d'eux seulement , un accroissement infiniment petit , de manière que la quantité A cesse d'être nulle , et que la quantité