DONT L'ÉLASTICITÉ N'EST PAS LA MÊME DANS TOUS LES SENS

Nous avons donné » dans le troisième volume des Exercices de Mathématiques [pag. 3a8 t suivantes], les équations qui expriment l'équilibre ou le mouvement d'une plaque >l!de élastique ou non élastique, d'épaisseur constante, ou d'épaisseur variable, mais a nous bornant à l'égard do la plaque élastique au cas où l'élasticité restait la mémo ans toutes les directions. Alors les projections algébriques sur les axes coordonnés des rcssions p\ p" ^ p'" supportées en un point quelconque {x.y^z) par trois plans Drpendiculaires à ces mêmes axes , ou , en d'autres termes , les six quantités

i) A, jff, C, D, E, F

3 trouvaient liées aux déplacements S , n , i du point dont il s'agit par les formules Ï8) de la page SSg. Considérons maintenant une plaque élastique dont l'élasticité no )it pas la même dans tous les sens. On devra aux formules que nous venons de rappeler jbstituer les équations (36), (Sy) des pages 226, 227, dans lesquelles m désigne ne molécule d'un corps élastique, a , 6 , c les coordonnées primitives de cette moleule, c'est-à-dire , celles qui se rapportent à l'état naturel du corps , r le rayon vecteur lené primitivement do la molécule m \x une molécule voisine, a , p , 7 les angles )rmés par le rayon r avec les demi-axes des coordonnées positives, f{r) une )nction qui dépend de la loi de l'attraction, et p la densité du corps au point {x^j,^), ^'ailleurs, si , en supposant toujours que les déplacements l $ n , ^ restent très-petits, n veut prendre pour variables indépendantes, au lieu des coordonnées primitives a , t c , les coordonnées x , j^ z relatives à l'état d'équilibre ou de mouvement du orps élastique, il suffira, comme on l'a prouvé à la page 207 du 3.* volume, d'écrire artout X au lieu de a , j au lieu de A , c au lieu de c. Donc, si l'on fait, our abréger ,

(2) a = pS[^ C05<a/(t.)] , b=.'»s[^ COsSV'W] . « = pS[^ CO*<7/(r)]; (.î) cl = pS[^ C0S'?C08' v/(r)], C = t.S[— COS'vCO»'a/(r)J, f =6S[— COS»aC0S'f /(r)], / ur=pS['^'cos'xcos.Scos7/(r)j, v=pS[""-cos^MOs■//{r)^, w = ps[— cos'acoâ?/(r)l,

'A) I ll'=.,Si "^'"cOs'.'-lOSy/C*)], v'=roS[-"î''cOSaCOâ\^COSy/(r)], W' — oS["-C05aC05'<./(r)],

( u''=pS[~cos.'-co»'//(r)], T''=6s[-'^''co?»coi^7/(r)], iv''=pS[Î^^COSac05fcos'7/W];

l<î« valeurs de A , B , C , D , E y F rclalivcs 5 un corps élastique dont l'élasticité n'est pas la nîcme dans tous les sens deviendront

dx ^ ,ly^dz^\di^ dy)^ \dx ^ dz)^ \dy ^ dx] '

j r/j; ^ dy ^ dz ^ \dz ^ dyj^ \dx ^ dij^ \dy ^ dx) '

dï ,.dr. rfÇ 'dr. d%\ JdK , dî\ ,ldl dn\

rfj; ' ity ' rf; ' \rf; dyj^ \dx ^ dz } * \dy dsj

(U' ^ dy ^ dz^ \dz ^ dy) ^ \dx ^ dz) ^ \dy ^ dx) IiOr»«|iîu le corps élaslicjuc est homogoiic^ les quinzi: coolliciciiU (/) «> 1>, c, d, e, f, ij , V, w. i\\ v\ w', u\ v\ w* ^ se I éduiseul à des quanlilcs constantes , cl Ton peut en dire aulant de la densité p .

(5) qui , pour de très-petits déplacements des molécules , ne diffère pas sensiblement de la densité primitive. Alors les valeurs de A,B,C/D,E,F, fournies par les équations (5) , (6) , dépendent des six quantités

^ ^ ^ —M— —4-^ ^4-^ ^^^ dx ' dy ' dz ' dz^ dy ' dx^ di ' dy ^ dx '

qui varient seules dans ces mêmes équations avec les coordonnées x , j, z. On peut remarquer que ces six quantités sont aussi les seules fonctions de x , j^, z , qui entrent dans la valeur générale de la dilatation ou condensation linéaire mesurée suivant une droite menée par le point {x,y,z) de manière à former les angles a, p , y avec les demi-axes des coordonnées positives. En cûet» si Ton nomme i celte dilatation linéaire prise avec le signe + ^^ cette condensation linéaire prise avec le signe — , on aura » comme on l'a prouvé dans le II.* volume des Exercices [page 66],

fe)

c = -— COS'a + --^ COS*S + — - COS'7 dx dy *^ dz

Dans le cas particulier où le corps élastique. offre trois axes d'élasticité rectangulaires entre eux et parallèles aux axes des Xj y , z , les neuf coefficients

(lo) u, V, w; u', v', w'; u', v'', w'',

s'évanouissent, et les formules (5)« (6), réduites aux suivantes

(il) yi = a-— 4-f- — he-— . jff = f— --t-b-^-f-d— -, C = e -- + d — + c — ; ^ ' dx dy dz . dx dy ' dz dx ^ dy dz

coïncident avec les équations (65) , (64) des pages 253, 254 du III.* volume des Exercices.

Les formules (5) et (6) ou (ii) et (12) étant une fois établies, il suffirait de les combiner avec les formules (2) ou (2*5) et (28) des pages 161 et 166 du III.* volume, pour obtenir les équations générales de l'équilibre ou du mouvement d'un corps élastique , dont les molécules s'écartent très-peu des positions qu'elles occupaient dans l'état naturel. '

Donc , si l'on désigne par ? la force accélératrice appliquée au point {x^y, z) de ce corps élastique, et par X , Y, Z les projections algébriques de la force f sur les axes coordonnés , les équations propres à déterminer le mouTement de ce même corps seront généralement

d^l ^d*i d*i d»ïi ,d*7i ,d*n d^K , dK , dK

\ djdi dzdx dxdy dydt dzdx dxdy dydt dzdx dxdy}

^ dr ^

^ ^ > dx* dy» dz* dx^ dy^ dz* dx^ dy* at*

\ dydz dzdx dxdy dydi dzdx dxdy dydz dzdx dxdyj