Y Uy hV --4-U hU ■ +U he hd hC

^^ dx^ dy- ^ dz^ ^ dx^ ^ dy^ ^ dz^ ^ dx^ ^ dy* ^ dz*

\ dyù

d^l d^i .d^n ^dU ,d'n ^d^K

d-ri

rf'Ç

dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy

Si le corps élastique offre trois axes d'élasticité rectangulaires et parallèles aux axes de» .T, j, 5, les coefficients u, v, w, u', v', w', u', v^, w' s'évanouiront , et les équations (i3) , réduites aux suivantes

rf'n

rf'i)

rf'Ç

rf'fl

^'^ +''-k^+"'is-+ "l^ + '^=' -sr.

r/'Ç , , r/»ç , c/n . ^'5 . . </*« . « rf'Ç

+ sd

(8) coïncideront avec les formules (68) de la page a35 du III.* volume. EnGn , si des formules (i3) et (i4) on veut tirer celles qui expriment l'équilibre d'un corps élastique, il suffira d'annuler les trois expressions

^*^J IT' "5F"' Ht^'

Concevons à présent que le corps élastique se réduise à une plaque élastique naturellement plane et d'une épaisseur constante. J)ésignons par a{ l'épaisseur naturelle de la plaque , et prenons pour plan des x , y celui ~qui divisait primitivement cette épaisseur en deux parties égales. La surface moyenne» après avoir coïncidé dans l'état naturel avec le plan des x ^ y , se courbera » en vertu du changement de forme de la plaque » mais son ordonnée restera très-petite. Désignons par f{x,y) cette ordonnée , et faisons de plus

t étant l'ordonnée d'une molécule quelconque m prise au hasard dans l'épaisseur de la plaque. Enfin soient

I17) A = A,-\-A^$ + elc,, F = F, + F.» + elc. , iï = 5. + iï.« -f- olc. ,

(18) ç = ç, + ç,« + etc. , u = j)o -f- »,» 4- etc. , ç = Ç, + ç.» •+• elc. ,

(19) X=X,-^X,s-\-etc. , r= r. + !'.« + etc., Z=Z.+Z.«+Z.-^-f.etc.,

les développemenls de A,F, B,l,v,i,X,Y,Z suivant les puissances ascendantes de « , dans le cas oh l'on prend a; , / et « pour variables indépendantes. En supposant que la plaque élastique se meuve et soit extérieurement soumise à une pression normalo désignée par P , on établira, comme nous l'avons fait dans le III.* volume [pages SSy et 338], les trois équations

Seulement pour obtenir les valeurs des fonctions Ao , Fo » Bo * ^t » F^ , B, exprimées à Taide des dérivées partielles de (« # «lo » Co » il faudra combiner les équation» (g) de la page 35 1, c'est-à-dire les trois formules

qui subsisteront encore pour < = — i et pour s = i , non plus avec les équations (58) de la page ôôq, mais arec les équations (5) et (6). On aura donc, pour « = — i et pour s = ( ,

dx^ dy^ dz ^'* \dt ^ dyj^ \dx^ dt]^ \dy^ d»] '

dy^ dz ^ \dz ^ dy)^ \dx^ dz}^ \dy^ dx)

Li^' + di^ + c^ + u-f^ + a + T'f^+^Uw'f^ + ^W-P;

\ dx^ dy^dz^ \dt ^ dy)^ \dx^ dzj^ \dy ^ dx)

puis , cil subsliluant les valeurs dos fonctions

d.v '^ dz ' flfj "*" dz ' ^/2 '

tirées des formules (*>3) » dans celles des équations (5) , (G) qui détcrinincnt les pressions A , F , B , on trouvera

',ao;

a.b,(,i,e,f,U,D,tO désignant de nouveaux coefficients dont 1rs valeurs seront

edc — cu^ — dx"* — cw^' H-aD"v*w»

bz=b

\'*{t\c-^u"^) ^u'*{vc~^x"*) -^d^jetl'-yv*'*)-^ 'm'd(v"yy"-~^eu^) 'j^7d\'^u''^y"'^dy'^^^

cdc — eu'" — dv*« — c\y"* + in^^j^vf"

cdc — eu**— df** — cw •• + «*?»»?* ~ " — '

T-'o(dc.u'»)4.uV(ee-T«')+d^'(ed-if*)+K^^+dT^)(T»TT*-en'0+(du+ryO{a*w*-d**)+(v^'+nnO(u«v»^w')

edc— en" — dT*»^cw** + au''»'w* »

UT(dc-n»')+T^u(ec-v'")+w*e(ed-w*')+(T'e+w*n)(f»TT''-en*)+(w*T+oe)(n»w»-dv«)4-(u'+vvQ(u«t<'.cw«)

edc — eu** — d»** — cw**+au*T*w'

cdc — eu*^ — df ^« — cw«" + au*^ t^w ♦ ——————— ,

^ T(u^w^-dT^).fu(f^w^-ett")-fe(ed-w^*)

^ T(u^w^>df^)+u^(TV^-cu^)+d(ed-w^«) cdc - eu** - d?''* - cw''» + au^'r^'w*'

^ u(u^w^-dT^)+Y^(T^w^-eu^)+w^Ced-w^')

Or» si, après avoir développé les deux membres des formules (sS) suivant les puissances ascendantes de s , on pose successivement dans ces formules « = — r »\ « = t , on en conclura , en négligeant les termes proportionnels au carré de i ,

(55) ( B. = fJ^ + ii^+i[^+^)-PV.

rv.« AiiNi£.

D'autre part, si l'on nomme V^ F^W des fonctions de a?, /, s propres à vérifier les formules

dx dy \d^ dxj

on aura , pour 5 == — i et pour $ = i ^ en vertu des équations (a3) et (35)»

dz dx dz dy dz

puis on en conclura , en prenant pour variables indépendantes x , j , s au lieu de X , y, z ,

Cola posé , soient

U'S valeurs de f/ , ^, JV correspondantes à * = o. Ou tirera des formules (35) cl (37) f en développant les deux membres de chacune d'elles suivant les puissances ascendantes de s ,

er. + wT. + vVF. = - V i!l - T' ''"

ée

\dy ^ dx]'

rfÇo

rfr '

Par suite les équations (54) donneront

rft/„

^^ ^ 1 ' dx ^ dy ^ \dy ^ dx ) rfa!» «/j-» rf.wfy '

'~ rfj! "*" rfj "^ irfy "*" rfx j rfx' rfj' ^ dxdy '

Si mainlenaal on substitue, dans les formules (20) et (21) , les valeurs de A^ , B», F», A, , Bt , F, , fournies par les équations (33) et (4>) > ^^ trouvera

dx^

3 rfa;4 ^''* dx^dy ^ ^'•' ^ -* > rfj,..rfy« ^^ dxdy^^' rf/* ^ '^ rfP