CHAPITRE III. — MOUVEMENT, FORGE ET ÉNERGIE. iC

alors on calculera la force par les équations

m-^ =Fcosay m-3^=:tcosp, ^'zjji —^ ^^^7^

avec la relation

cos'a -H cos'P 4- cos*y = i .

Deux relations lient les masses, les vitesses et les forces

(9) mv — mi^Q

=zf ¥de.

La variation de la quantité de mouvement du mobile pendant un temps t est égale à l* impulsion de la force pendant ce temps ( * ) .

{mv^'-^mvl^Ç Yds = ÎS\= (\\dx-\-YdY-\-ldz).

La demi-variation de la force vive du mobile est égale au travail correspondant de la force^ dans le déplacement de s^ en s.

La force est donc la dérivée de la quantité de mouvement par rapport au temps ou la dérivée de la force vive par rapport au chemin parcouru.

Passons à Tétude des systèmes de points matériels, c'està-dire des corps de dimensions finies.

Le mouvement du centre de gravité du système est le même que si toutes les masses y étaient concentrées et si toutes les forces extérieures y étaient transportées parallèlement à ellesmêmes :

(n) M^=2X, M^^IY, M^=.2Z.

(*) La dérivée par rapport au temps du moment de la quantité de mouvement par rapport à un axe est égale au moment de la résistance des forces par rapport à ce même axe :

(9 6«) ^(mxg-m>'^^)=^Y-rX.

20 LIVRE I. — PHYSIQUE MÉCANIQtE.

Quand un solide tourne autour d'un axe, il y a Intérêl à considérer la somme Imr* des produits de la masse m des points qui le constituent par le carré de leur distance respective r à Taxe : c'est le moment d* inertie du corps. Une intégration permet de déterminer cette quantité pour un corps de forme géométrique. On l'écrit souvent

(II bis) ^mr'^—Mk^,

M étant la masse totale du corps et k le rayon de giration. Le moment d'inertie limr\ autour d'un axe passant par le centre de gravité étant connu, on en déduit le moment d'inertie autour d'un axe parallèle, à la distance a du premier, par la formule

(12) 2//ir' = iw/J 4- Ma*.

Dans un système, chaque point peut être sollicité par deux espèces de forces, les unes, Fe, qui émanent des corps extérieurs (ce sont les forces extérieures), les autres, F/, provenant des actions mutuelles des points (ce sont les forces intérieures); ces dernières sont dites centrales quand elles sont toutes dirigées suivant la droite qui joint les points et qu'elles sont en raison inverse du carré de leur distance.

Le théorème des forces vives, étendu à un système matériel, a pour expression

( ^\mv^^l^m^l^:Lf{\dx^^[dy^^dz) ^'^^ \ • =:SGF.4-iC.F,.

1{'\dx -hY dy -\-7.dz) n'est pas nécessairement une différentielle exacte; mais cela a lieu quand toutes les forces sont centrales, et, dans ce cas, on peut écrire

fl{\dx 4- Ydy -h Zdz) = - V.

La fonction V, qui est une fonction des coordonnées x, y et 5, s'appelle le potentiel; la somme des travaux des forces extérieures étant nulle, il vient donc

2imr*-2imp; = -(V-Vo), i;i;nr*4-V=i2i/ni>j4-Vo.