CHAPITRE I. — ÉLECTROSTATIQUE
K\! i Mi: i jAh
des lignes de force, qui en sont les trajectoires orthogonales. L'équation des premières est
Vi - Vo -H ao: -h - "=:x -=r const.
La condition dV — o nous donne une équation différentielle des lignes de niveau; on en déduit Téquatîon différentielle des lignes de force en changeant dx en dy el dy en dx :
o- (xdy— {x dy—y dx).
On intègre en prenant pour variables 7 et u — -;
(vi -+-"*)
Cette élégante solution est due à M. Cornu.
Le tracé des lignes de force peut être obtenu par la méthode générale; faisons aboutir au point A un nombre de lignes de force égal au nombre d'unités qui composent la masse; puis, nous considérerons le champ uniforme comme de révolution autour de Taxe. Une surface de niveau plane sera coupée par une série de circonférences, comprenant entre elles des zones de surface constante, dont les rayons croîtront comme les racines carrées des nombres entiers consécutii's. On joindra par un trait continu les points pour lesquels la somme algébrique des indices est constante. Sur notre épure, nous avons intercalé des lignes intermédiaires pour multiplier les points de rencontre.
17. Un point, possédant une charge m — — 12 {fig. 52), est placé entre deux conducteurs sphériques, élevés au potentiel -i- 1 2 , ayant un rayon égala i*=™, 5 e^ des charges Mef M' «fe -m8 unités : leur distance de centre à centre égale 9^"* et le point occupe le milieu de la ligne des centres. On propose de dessiner les courbes de niveau et les lignes de force de ce système.
GHAPITBE I. — ÉLECTROSTATIQUE. 227
On peut toujours remplacer une surface de niveau V — K par une surface conductrice de même forme maintenue au même potentiel, et réciproquement, ce qui ramène le cas d\ine sphère conductrice à celui d'un point, étudié ci-dessus. D'autre part, si Ton donne n points éleclrisés disposés en ligne droite, on fait d'abord le diagramme de deux points voisins et Ton réduit successivement à w — i , /i — 2 , ... le nombre de diagrammes distincts i n —i opérations fournissent donc le diagramme du système. C'est ainsi qu'a été obtenue répure de \^fig' 02. On peut effectuer ces tracés sur une même feuille de papier ou bien se servir de feuilles de papier à calquer qu'on superpose pour déterminer les intersections des lignes par transparence.
Pour ne pas compliquer outre mesure notre dessin, qui est fait nécessairement à une très petite échelle, nous n'avons marqué qu'un petit nombre de lignes de force.
D'une manière générale, deux observations permettent de contrôler l'exactitude d'un dessin : 1° les deux systèmes des lignes équipotentielles et des lignes de force doivent être orthogonaux; 2° la distance des surfaces équipotentielles consécutives est à la distance des lignes de force consécutives comme la demi-dislance à l'axe est à l'unité de longueur du tracé.
18. En A, à une distance^ 1- 10"" d'un conducteur plan indéfini non isolé {fig. 53), plaçons une masse chargée de m — 2 unités d* électricité positive : quelle est la densité au point B?
Cherchons d'abord quelle est la densité en un point quelconque P, et pour cela, supposons qu'en A', symétrique de A par rapport au plan, il y ait une masse — ni (*); le plan sera encore au potentiel zéro. La force F, exercée en P par w, est normale au plan et égale à
F— ::=r-i-COS0 = 2D - — — + 4?:^.
AP ÂP
(») A' est l'image de A par rapport au plan.
228 LIVBE III. — ÉLECTRICITÉ BT MAGNÉTISME.
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