CHAPITRE II. — PROPAGATION ET SUPERPOSITION DES ONDES

Ce sont les intégrales de Fresnel; elles ne contiennent sous le signe / aucune donnée particulière, et il suffira de les calculer une fois pour toutes; c'est ce qu'a fait Fresnel et Ton trouvera leurs valeurs ci-après, de i' — o à t' = 5. Ces Tables ont été calculées à nouveau par MM. Knochenhauery Cauchy et Gilbert, par des procédés plus ingénieux que celui qu'avait employé Fresnel, et les valeurs des intégrales sont connues aujourd'hui avec une grande précision. Elles se prêtent très facilement aux applications.

Au lieu d'une Table, il serait préférable de disposer d'une courbe, qui montrerait immédiatement la quantité de lumière envoyée en un point par une portion de l'onde : cette courbe a été construite par M. Cornu.

Il a obtenu ce résultat important en appliquant la règle de Fresnel. On a, en effet, à composer la résultante des mouvements envoyés au point P par les divers éléments de la demionde commençant en A : ces mouvements ont même amplitude, mais ils ne sont pas dans la même phase; à est leur différence de marche; nous aurons donc

^ A labk

Nous construirons la courbe symbolique destinée à nous faire connaître la résultante, en portant bout à bout des arcs égaux aby bcy cd {fig. io3), inclinés l'un sur l'autre d'angles

Fig. io3.

aTTcp, 27:9', ...; on obtient ainsi une ligne polygonale qui affecte la forme d'une spirale, dont la longueur est propor-

tionnelle à la portion correspondante de l'arc d'onde; elle jouit de la propriété que l'amplitude et la phase résultante des mouvements, envoyés par un nombre quelconque d'éléments consécutifs de l'onde, sont fournis par la droite qui joint les extrémités des arcs représentatifs correspondants. Ainsi l'amplitude du mouvement résultant

ab -\- 6c -r rr/ H- . . . -4- J7 X

est aX et sa phase est ^.

La courbe en spirale s'enroule en anneaux de plus en plus resserrés, dont la limite est un cercle de circonférence proportionnelle à la longueur d'onde X, c'est-à-dire de rayon négligeable; on considère la spirale comme ayant un point asymptotique en A.

Or celte courbe peut être construite par points.

En effet, à chaque élément ds de l'onde agissante AM, faisons correspondre un élément é/o- de la courbe, dont les coordonnées sont X et j; on a

dij — \dx^ "h dy^ ^ K ûS,

dy tang27r9= -r-*

Mais

et

tang2 7T(p L- tang2'ït — pr 5* = tang ^ — 5* = tanga5*.

On en déduit

(i4) x — KJ cosas^ds et y^Kj sinocs^ds.

Ces quadratures ne peuvent s'exprimer en termes unis : posons

{il^bis) «5'=— ' -— '5*=-^^-, d'où s~t^i/—. — --r.

abÀ 2 y 2(a-^b}