CHAPITRE II. — CALCUL DBS ERREURS

pensalion, la moyenne M=: - — sera probablement plus voisine de x qu'aucune valeur q obtenue directement ; appelons ô la différence entre M et une observation q :

o est à peu de chose près Terreur du résultat q. Il faudrait pouvoir faire la moyenne de ces différences 5; mais, leur somme étant identiquement nulle, il a fallu définir autrement leur moyenne. On Tobtiendra en extrayant la racine carrée de la /i»*°»'= partie de 23*, somme des carrés des erreurs; e est ce qu'on appelle Yerreur moyenne des observations :

L'erreur E à craindre sur la moyenne M elle-même est la moyenne des erreurs e, soit db i/— ; il vient donc

E est Yerreur de la moyenne,

Gauss a appelé poids de la moyenne l'inverse du carré de Terreur de la moyenne :

Il est possible de peindre aux yeux, par une construction graphique, la probabilité plus ou moins grande des divers résultais relevés. En effet, dressons un Tableau des différences 3 positives et négatives, et supposons qu'il y en ait p comprises entre o et 5 unités de Tordre des grandeurs observées, q entre 5 et lo, r entre lo et i5, . . ..Traçons deux axes coordonnés et portons en abscisse les écarts 5, lo, i5, . . ., à une échelle quelconque; puis, sur le milieu de chaque intervalle, élevons une ordonnée égale hp, q, r, s, ... et joignons les points ainsi obtenus {/ig, i).

lO LIVRE I. — PHYSIQUE MÉCANIQUE.

Môme conslruclion du côté des x négatifs. Nous obtenons deux branches généralement symétriques, qui dessinent Ja courbe des erreurs ; elle est représentée par Téquation

/ est la/>/o6a6t7«7e d'une erreur a:; A sera Ja probabilité d'une erreur nulle ; h a reçu le nom de module de précision, car le

O s 10 15 20 25 80 i6 âO

calcul démontre que ce paramètre mesure la précision d'une série d'observations. Ce module peut se calculer; on a

il caractérise la valeur de la série d'observations effectuées. La considération du module a un autre avantage, car elle conduit à la connaissance de V erreur probable àt Ja moyenne M ; cette erreur rj est égale aux | de E ou, plus rigoureusement,

(') C'est Terreur que Cournot avait appelée médiane; ce nom se retrouve quelquefois.

CflAPlTRB II. — CALCUL DBS ERREURS. I I

La connaissance de Terreur probable est importante pour indiquer le nombre de décimales à conserver dans la moyenne des observations ; le dernier chiffre peut être incertain, jamais Tavant-dernier.

On peut toujours déclarer qu'un écart sextuple de in est absolument improbable.

Nous n'avons étudié jusqu'ici qu'un seul cas, le plus simple de tous, celui où les opérations conduisent directement à la mesure de la quantité dont on veut évaluer la grandeur : le plus souvent l'observation ne donne pas cette quantité, mais une fonction de cette quantité. Voici un exemple de ce cas : un vase a une capacité a à zéro, quelle est sa capacité y k or degrés ? On essaye de lier x ^ y par la relation

v = a -h hxy

dans laquelle la constante a et le paramètre b nous sont inconnus : a et ^ se détermineront par deux observations, qui donneront

Or les valeurs calculées de a et de 6 ne seront pas exactes, attendu que x'y x'y y' et y sont entachés des erreurs inévitables de toute observation : il faudrait pouvoir trouver les valeurs les plus probables de a et de b.

Legendre a donné la solution de ce problème : les valeurs les plus approchées des inconnues sont celles qui rendent minimum la somme des carrés des erreurs.

Il faut pour cela que

léX a-\- nb = 2j, d'où

ixliy — JàXy "LxliXy ^^y^x^ ^

^"" (2a:)«— /i2i»' {Ixf—nlx^ '

on fera donc n observations et l'on évaluera séparément l^Xy

ly, Ix* et Ixy ; ce calcul peut être assez pénible, mais l'application ne présente aucune difficulté, une fois que les coefficients sommatoires sont connus, tant que Ton a des équations linéaires; lorsque les équations sont d'un degré supérieur, l'application de celle méthode, dite des moindres carrés^ conduit à des difficultés inextricables.

1 . Cavendlsh a déterminé la densité de la Terre par 29 expériences, donnant pour valeur moyenne le nombre 5,^8 : calculer l'erreur moyenne des observations, l'erreur de la moyenne, son poids, son erreur probable et enfin le module de précision de ces remarquables expériences,

RésuUau. ô. RésoUalB. 2.

5,88 -ho,4o 5,10 — o,38

5,58 -»-o,io 5,34 ^-0,14

5,53 -HO,o5 5,75 -t-0,27

Il y a i4 différences positives et i5 différences négatives.

Moyenne 5,48