LlEUÏ GÉOMÉTRIQUES DONT LIÎS POINTS SONT EN LIGNE DKOITE

i. On donne (fig- 3) un triangle AOB, on mène une

parallèle quelconque CD à OA, On demande le lieu du point M, rencontre des droites AC, OD, quand CD se déplace dans le plan du triangle.

Prenons comme axes de coordonnées les côtés OA, OB an triangle, soit

esl réqiiation de la droite CD.

D'après l'énoncé, le point M esl déterminé par l'intersec-

ao l'" PARTIE. — GEOMETRIE A DEUX DIMENSIONS.

lion des droiles OD, ÂC, nous allons écrire les équations de ces droites ;

(«) L'équation de la droite AC, dont les coordonnées à l'origine sont {a, \), s'écrit

(6) L'équation de la droite OD peut être obtenue de deux façons : i" on peut calculer les coordonnées du point D, intersection des droiles AB et CD et former l'équation de la droite passant parles deux points 0,D; 2" on peut également former l'équation générale des droites passant en D, intersection des droites AB, CD, et déterminer le paramètre variable que renferme cette équation, de manière à ce que la droite qu'elle représente passe à l'origine; nous allons employer ce dernier procédé.

L'équation générale des droites passant en D csl

Cette droite passe en O si l'on a

l'équation de la droite OD est donc

Dès lors, le point M est défini par l'intersection des droites

Nous obtiendrons l'équation du lieu du point M en élir

ClIAP. II. — LIGKB DHOITE. ïl

nant le paramètre î., ou plutôt j, entre ces deux équations; on peut écrire

réiiminant (AB' —BA') donne c'esl-à-dire

Le lieu se décompose donc en

la seconde de ces équations est celle de la médiane du triangle AOB passant au sommet B.

Quant à la première partie du lieu, qu'on rejette souvent à tort, sous le titre de solution étrangère, elle provient d'un état particulier de la figure, dans lequel !e point M peut occuper une position quelconque sur Oa:; lorsque la droite CD se rapproche de O^, le quadrilatère OACD s'aplatit, et les diagonales AC, OD tendent à coïncider : le point M tend vers une position -limite, milieu de CA — au nioment où CD coïncide avec Ox, les diagonales sont confonduesj le pointM a une position quelconque sur Ox.

Solution géométrique. — Le point M est à chaque instant le conjugué harmonique, par rapport au segment CD', du

aa I™ PARTIE. — r.eoMKTiiiE a »edx ihiuînsions.

point rejeté à l'infini sur celle droite; M est donc le milieu de CD' : le lieu de ce point est la médiane issue de B. Quand CD coïncide avec O^, on voit que tous les points de celte droite répondent à l'énoncé.

Rejiaroub. — Nous fêtons remarquer que si l'on avait opérii l'iiliminaiion de 1, comme on i'mdique souvent, en combinant les équations, par addition, pai exemple, on aurait obtenu, comme équation

vient de ce que, en addi

On répond que ics solutions ainsi disparues correspondent à des états particuliers et ne sont pas la vraie solution de la question.

Nous ferons observer que la vraie solution d'une question est la solution générale; et que cette solution complète obtenue, c'est au géomètre à distinguer les parties qui proviennent d'un état particulier de la figure où certains caractères dont l'énoncé suppose l'esistence, sont modifiés ou n'eiis lent plus, de celles qui proviennent du déplacement continu du point dont on cherche le lieu.

Puisqu'on 6St forcé d'admettre que l'élimination par les petits moyens {qui a l'inconçénient d'exiger la recherche dans chaque cas particulier du petit moyen à employer) entraine la disparition de certains facteurs du produit, dont on ne peut pas, en général, déterminer la loi de formation, rien ne prouve que ces facteurs disparus ne constituent pas une partie ou la totalité de la vraie solu-

Dans les problèmes que l'on a à traiter dans cet ouvrage, il serait souvent possible d'étudier géométriquement la question et de reconnaître à priori toutes les solutions; mais dans beaucoup de questions, celte solution n'est pas possible ou exige des connaissances et une expérience que n'a pas celui qui est appelé à résoudre le problême posé.

En résumé, nous recommandons de ne jamais employer d'autres

moyens d'élimination que les procédés généraux; et de ne jamais rejeter sans examen une solution sous la dénomination de solution

étrangère. — La résolution d'un problèi de ces résultats; et, à tement qu'après la diseuse

des résultats obtenus constitue, dans la partie aussi importante que l'obtention vis, une question n'est traitée complède la solution obtenue.

On citera bien des exemples où des facteurs du genre de celui qui nous occupe sont réellement étrangers à la question; mais ces facteurs proviendront de mauvais calculs algébriques, au courant desquels on les aura introduits, ou bien de la substitution, dans la traduction analytique de l'énoncé, d'une condition plus générale, à une condition donnée.

Par exemple, si dans le problème suivant :

« Un angle variable suivant une loi donnée. , . tourne autour de son sommet ^xe A; on demande le Heu des projections d'un point fime B sur les côtés de l'angle o

le lieu sont à l'intersection du faisceau des droites AS, AT {fig. 4) représentées par leur équation quadratique, avec le faisceau des droites perpendiculaires BS', BT', également représentées par leur équation quadratique (ce qui semble naturel, au premier abord, puisque l'énoncé donne ensemble l&s droites AT, AS), on aura défini, non les deux points P, P', que vise l'énoucè, mais les quatre points P, P', R, R', communs aux deux faisceaux. — Le lieu qu'on obtiendra par l'élimination du paramètre variable contiendra donc bien uo

aj r'8 PARTIE. — GEOMEiniE A DEUX DIHENBEONS.

lieu étranger à la question (le lieu cherché étant évidemment et quelle que soit la loide déplacement et de variation de l'angle, le cercle décrit sur AB comme diamètre), mais non étranger à la mise en équation maladroite dii problème.

Voir, à ce sujet, la question traitée sar les diamètres conjti-~ gués dans l'Ellipse (Problèmes généraux) et la transformation homographique (Ghap. IV).

Si nous insistons sur ce point, quoique l'emploi des procotlés que nous condamnons ne présente que des inconvénients minimes pour la résolution des questions très simples que nous traitons actuellement, c'est que le jeune géomètre qui s'en sert et arrive cahin-caha au résultat, se croit en possession de la véritable méthode et de l'esprit qu'il faut apporter dans ces études; puis, tout à coup, il se heurte à des difficultés qui lui paraissent insurmontables au moment ofi il aborde des questions plus générales; en employant les mêmes moyens, il perd «ne partie de la solution ou bien il introduit un lieu étranger; en présence de ces résultats contradictoires il ne démêle que difficilement la vérité : rien, à notre avis, n'est plus défavorable aux progrès de rélève, qui a toujours une tendance à croire à la nécessité de l'emploi d'artifices particuliers, pour la résolution des problèmes.

Les méthodes générales qui permettent toujours de traiter les problèmes posés donnent quelquefois des solutions plus lourdes; mais, malgré cet inconvénient apparent, nous les emploierons toujours.

Quand une question est ainsi traitée, on aperçoit souvent une simplification importante à opérer dans la mise en équation; ou un meilleur choix des axes à faire ; ce qui permet d'obtenir une solution plus simple, plus élégante.

Nous donnerons des exemples de cette façon de procéder, en montrant comment, le résultat connu, on peut alléger notahlement les calculs ou atteindre des résultats plus généraux

2. On mène des parallèles à l'un des câtés d'un triangle (Jig- 5); par les points oà cette droite rencontre les deux autres câtés, on mène à ces câtés des perpendiculaires qui se coupent en un point dont on demande le lieu.

Prenons comme axes de coordonnées la base du triangle el la hauteur correspondante.

SoilOA=a; 0B = 4; OCs-c.

Les équations des droites CA, CB sont