CA] [CB

L'éqnation de la parallèle varlaLle DE est

Les coordonnées des points D et E sont, dès lors :

2f) V" PAIiTIR. — G

Le point M est défini comme intersection des deux droires

[DM] £:z£i + r:^=„.

[EM) £zp + t^=.o,

qu'on peut écrii-e

ou, en ordonnant par rapport à )>,

( . — c\l -\- hx -h cy -h b^ — o,

I — -+- c\ X -i- ax - ~ cf -~ a' ^ o.

L'éc[iiation du lieu s'obtiendra en éliminant X entre ces deux équations

{a'-^c^)l + c[a.x:-cy-a')=o.

L'éliminant donne (]) c(b' + c^-)iax~cy~a') + cia^ + c^)ibx+cy+b'-) = o.

Le lieu du point M est une droite passant à l'intersection des droites

[AP] a{j:-a)^cy^o,

[BP] b(x + b)-i^cf = o;

la première passe au point A. et esl perpendiculaire au côté AC du triangle; la seconde passe en B et est perpendiculaire au côlé BC ; ■ — ■ ce sont les positions que prennent les droites EM, DM, quand la parallèle variable DE coïncide avec AB.

yGoosle

On peut voir d'ailleurs que l'équation (i) devient une identité quand on y fait x^o, y^=c; la droite qu'elle représente passe donc en C. Elle est complètement déterminée.

Remarquons que l'équation ( i ) peut s'écrire

ax — cy — a' bx -^ cy -'-(>-

ce qui signifie que les distances d'un point quelconque du lieu aux droites AP, BP sont entre elles dans le rapport constant des côtés, ÂC, BC, du triangle fixe. Celle propriété se voit facilement sur la figure.

Solutiongéomélrique. — Danslemode dedéplacementatiquel est soumis le côté DE, le triangle DEM reste constamment semblable à lui-même et ses côtés restent parallèles à des directions fixes ; déplus, deux sommets, D, E, glissent sur deux droites fixes, nous savons que le lieu du troisième sommet est une droite passant à la rencontre des deux premières, etc..

3. Etant donné {Jig. 6) un triangle rectangle OÂB, on construit sur les côtés OA, OB de l'angle droit, les carrés OACD et OBGF et Von mène les droites AG, BD. On demande le lieu géométrique du point M de rencontre de ces droites quand, l'angle droit O restant fixe, l'hypoténuse ÂB se déplace parallèlement à elle-même.

Prenons comme axes de coordonnées les eôtés fixes OA, OB et soit a=;AO, 6 = 0B, les longueurs de ces côtés

28 l" PARTIE. — GEOMETRIE A DEUS DIMENSIONS,

quand le triangle occupe la position représentée sur la figure.

Le point M est défini par riiitersection des droites AG, BD; nous allons écrire les équations de ces droites : X dési-

gnant un paramètre vai-iabie, les coordonnées de A soûl

celles de G sont

œ = —\b, y — Ab.

L' équation de AG est doue

r Ib —b

a: — \t:i — Art — \b a -1- b Celle de BD est de même