Un triangle rectangle {fig-'j) de grandeur inva

riable se meut dans un plan^ de façon que son hypoténuse s'appuie constamment sur deux axes rectangulaires. — On demande le lieu décritpar le sommet de l'angle droit.

Prenons comme axes de coordonnées les droites fixes; désignons par h la hauteur MP du triangle, par <,) l'anglt: variable xAB,

a^AF, &=zBP;

on a, on vertu de l'énoncé, ab-^h^.

.Soient (a:, y) les coordonnées de M ;.

3o F^ PARTIE. — GEOMETRIE i DEUX

On a, en projetant OBPM sur Ox,

a^=i:- — ècosu + Asiiiu,.

De même, en projetant OAPM sur Oy,

j^r.a sinu) ~ h cosw.

L'équation du lieu du point M s'obtiendra en éliminant l'ang-le w entre ces deux équations ; pour cela, nous emploierons la méthode indiquée plus haut : (Chap. ï. §11, 4)- Il vient :

— fiCOS(o + /(sino)— a^s=zo,

Des valeurs proportionnelles à cos tû, sin ta, z, sont fournies par

-- /(/ + ax " hx — by — «6 -h /i^

L'équation cherchée est donc

(i) iax-hyY + {hx-byy = {h^~abr-.

Mais

ab - h"- r^ o

En tenant compte de ces relations dans l'équalion (i), il

(v + k'){hy~axr-^o.

Le lieu du point M dont l'équation est

{hy~axy- = o

est donc une double droite issue de l'origine et dont l'angle avec 0^ est égal à l'angle AMP ou ABM.

Il est à remarquer qu'il n'y a qu'une ])ortion de ta droite

hy — axz^o,

qui fasse partie du lieu; l'abscisse x, par esempie, ne peul prendre que les valeurs qui rendent réelles les solutions de l'cqiialion

Asinw— ^cosw — a; =110,

dans laquelle u est un paramètre variable.

On peut écrire cette équation oUj en posant — = taii^ çi

\Jh--^b"-

on doit donc avoir

'ât r= PAHTIE. — GEOMÉTRIU A DEUX DIMENSIONS.

X ne peul varier que de — \//t- + 6^ à + \/ h- -^ /j^ ; l'abscisse du point mobile prend ces valeurs limites quand le triangle a ses côtés de l'angle droit parallèles aux axes de coordonnées {Jig. 8).

La portion MM', en trait plein, de la droile hy — aœ = o fait seule partie du lieu effectif.

Solution géométrique. — Le quadrilatère OAME {/ig- 7) étant inscriptible, on voit que, dans le déplacement de la figure, l'angle AOM reste constamment égal à l'angle ABM; le lieu du point M cst> donc la droite OM faisant avec Ox un angle égal à ABM.

D'ailleurs, l'abscisse du point M reste constamment inférieure àBM. Nous verrons phis tard que la double portion de droite MM' est une ellipse infiniment aplatie.