II. ■—■ Étuoë de lv loi de DÉPLACKiiiE^^T d'ux droite
1. Dans l'étude du niou\ement d'une droite mobile nous distinguerons trois modes de déplacement :
1" La droite se déplace en passant par un point fixe ;
a" La droite reste parallèle à une duection fixe;
3° La droite reste tangente a une courbe fixe; nous ne nous occuperons de ce dernier cas que lorsque la courbe fixe est une conique (Ghap. V. Tangentes).
Nous établirons d'abord les propositions suivantes :
Théorème. — Toute relation, linéaire et homogène entre (es coefficients variables de l'équation d'une droite indique que cette, droite passe constamment par un point
Soil
l'équation d'une droile ; supposons qu'entre les coefficients X, t^i V on établisse la relation homogène
je dis que la droite (i) passe par nn point fixe. Eliminons •/ entre les équations (i) et (a), on obtient pour équation de la droite mobile
cette équation montre que la droite passe constamment par le point dont les coordonnées sont
TaÉORiiiiË, — Toute relation linéaire et homogène entre les coefficients dex et dey, dans l'équation d'une droite, indique que la droite se déplace parallèlement à une direction fixe .
Le point («(ij,) est, en efi'el, rejeté à l'infini (C;:;- o); mais dans la direcUon fixc'^^r-
RiiMARQUE. — On reconnaît encore qu'une droite passe par un point fisc quand son équation est de la forme
D + XD'=^o, D t= o, D'= o étant les équations de deux droites.
2. — On considère [fig- 9) un rectangle de périmètre constant 2a; A.et B étant deux sommets opposés, on abaisse du sommet C une perpendiculaire sur AB; trouver la loi de déplacement de cette droite.
Prenons comme axes de coordonnées les côtés OA, OB, R. — Ex, de Géom. anal. 3
34 r= PARTIE. — CÉOHÉTBIE A »EDX DIMENSIONS,
du rcctang;lc; soit
on doit avoir
L'équation de la droite AB est
celle de la droite CD, qui lui est perpendiculaire et passe en C (X, p.), est
c'est-à-dire
ou, en éliminant [i. au moyen de l'équation (i),
qu'on peut écrire
La droite CD passe donc par un point fisc, intersection des droites
Solution géométrique. — Portons 0E = OF^ <^{fis'- 9)- Ces droites sont les positions limites du rectangle, quand l'une des dimensions devient nulle. — Les pei'pendiculaîres aux diagonales sont alors EG = FG, respectivement perpendiculaires aux axes.
Je dis que toutes les droites CD passent en G.
En effet, je joins CG et je vais proiiver que les trois points D, G, G sont en ligne droite; les triangles rectangles CGH,
ABC sonL égaux comme ayant deux côtés égaux chacun à chacun, BC =: GH, GÂ.=:CH; il s'ensuit que les angies en B et G sont égaux ; or, les angles ACD, CBD sont égaux ; dès lors les angles égaux ACD, HGC, ayant la position (le
l'iS. 9-
correspondants, sont tels qu droite, c. g. F. n.
les côtés CG, CD.o.aenliq
3. On donne l'équation d'une courbe rapportée à des axes rectangulaires :
démontrer que les cordes de cette courbe, vues de l'origine sous un angle droit, passent par un point fixe situé sur la courbe.
l'équation d'une sécante quelconque, l'équation du faisceau des droites qui joignent l'origine aux points de rencontre de cette sécante et de la courbe est
■' + Bx^y -t- C^y- -+- ï)y'- -
3b re PARTIE. OKOMETEIB A DEUX DIUBNSIONS.
Formons l'équalion aux coefficients angulaires de ces droites ; on a, en posant ~^jz,
Si deux des rayons du faisceau sont rectangulaires, le produit de leurs coefficients angulaires est — i; le coefficient
angulaire du troisième rayon est donc =-•
Si nous exprimons que 2 = ^ est racine de r<5cjuation (i-),
noiis aurons la relation qui doit exister entre (u, c) pour que la droite
remplisse les conditions de l'énoncé.
Or, l'équation de condition
DA^ M- (G + Ec) A^D + ( B + E H) \D= + AD' — ou (3) A^-l-(G-l-Ey)A-i-(B-i-EK)DH-D^ = o
est du premier degré par rapport à (a, v). La sécante (1) passe donc par un point fixe.
On peut écrire (3) sous la forme
