Équation générale des cercles
passant par an point donné et tangents à, une droite donnée.
Lieu des ccntiies.
(«) Prenons comme origine !e point donné {^fig- 12) et
plaçons l'un des axes parallèle meiiL à la droite donnée dont l'équation est, dès lors
Les cercles dont nous cherchons l'équation passent par l'origine et sont tangents à la droite AB.
L'équation générale des cercles passant à l'origine est
L'équalion aux ordonnées des points de rencontre de ci
,(6 l''" PARTIE, ^ GÉOMÉTRIE A DEUX DIMGKSIOSS.
cercle avec AB doit avoir une racine double pour qu'il y ail contact.
Cette équation aux. ordonnées, obtenue en i'aifiant x ~- a dans l'équation (i), est
7= — a[j.7-i-«* — aX« — o.
Elle aura une racine double, si l'on a
B= — AC — o,
celle-ci donne
L'équaLioii générale des cercles de l'énoncé est alors :
X ne peuL varier que de — co à - ■
(6) Proposons-nous de chercher le lieu des ceni ces cercles.
Les coordonnées du centre sont :
x = \, y = zh\/«(rt — 2X).
L'équation du lieu des centres s'obtiendra en éliminant î. entre ces deux équations :
Nous verrons plus tard que la courbe représentée par cette équation est une parabole placée comme l'indique la figure. Le point O est le foyer, la droite AB, la direcuûce.
Solution géométrique. — Il est facile de se rendre compte de ce résultat par des considérations géométriques.
Le centre d'un cercle quelconque remplissant les condi-
CHAP. 111. GEHCLE. 47
lions de l'énoncé doit être également distant du point O et de la droite AB. — Cette propriété sert en Géométrie élémentaire à délinir la parabole dont les éléments sont indiqués plus haut.
3. — Équation générale des cercles passant par deux poiuts fixes.
Nous avons donné plus haut l'équation C + >,C'=o comme étant celle des cercles passant par deux points fixes.
(a) On peut donner à cette équation, en choisissant convenablement les axes de coordonnées, une forme simple utile à connaître.
Prenons comme axe des j' l'axe radical fixe, et comme axe des X la ligne des centres de tous ces cercles.
L'équation générale sera
p^ désignant la puissance fixe de l'origine par rapport à tous ces cercles.
On prendra le signe — devant p^ si les points de rencontre de l'axe radical avec les cercles sont réels ; le signe + si ces points sont imaginaires.
Application. — ■ Considérons dcirx cercles de la série :
(i) af- + y'^--i\x±.p- — o
(2) a;^-)-y=— 2aa;±p^ = 0.
Si d'un point A {fig. i3) de la première circonférence on mène une tangente à la seconde, le carré de la portion comprise entre le point de contact B et le point A est donné par
AB ~-.x'^ -V- y'- ~ iiJ.œz!np^,
(a:,y) étant ies coordonnées du point A.
48 l" PARTIE. — GEOMETBIE A DEUX DIMENSIONS.
Mais [x, y) satisfonl à l'équation (i); on a donc fmale-
ÂÏÏ' = (X — ;x)2a;.
Donc AB est mojenne proportionnelle entve la dislance
des centres CC et le double de la perpendictilaire AD, abaissée du point A sur l'axe radical.
4, — Équation générale des cercles passant par un point donné et tangents à un cercle donné.
Nous placerons l'origine au point donné ot nous orienterons les axes d'une manière quelconq\ie.
Le cercle donné a pour équalion
ay + iy^bY-
IV z
L'équation générale des cercles passant par le point donné, c'esl-à-dire par l'origine, est (a) x^ + y^ — ■ilx — 2>^.j' t= 0.
Nous exprimerons que le cercle (a) est langent au cercle (i) en écrivant que leur axe radical est à une distance R du centre [a, b) du cercle fixe.
L'éqiialion de l'axe radical est On doîl avoir :
Cette équation de condition montre que le centre du cercle variable doit se déplacer sur une coiirlie du second ordre. {Voir la discussion au Chap. IV.)
Dans un problème où l'on aurait à considérer les cercles remplissant ces conditions, on écrirait l'équation (a) en l'accompagnant de la condition (3).
