Lieu des points ile rencontre de ces cercles
avec une droite de direction fixe passant par le centre
du cercle mobile.
L'équation de celte droite est
m étant le coefficient angulaire fise.
On doit donc éliminer X et j^ entre les équations
af- h/'-
Le procédé indiqué (Cbap. I) s'applique facilement ici.
Remarque. — Tous les moyens que nous indiqiierons pour former les équations générales de courbes du second ordre R. — Ex. de Géoiti. anal. 4
5o !'■'= PARTIE. — GÉOMÉTHIE A DEUX DIMENSIONS.
s'appliquent au cercle. — On adjoindra aux équations de condition établies pour des coniques quelconques les deux conditions
qui expriment que cette conique est un cei-cle.
H, — l'OJ-rî CT POLAIHE DANS LE CERCLE.
Définition. — Le lieu du conjugué harmonique d'un point lîs.e P, par rapport au segment déterminé par une circonférence fixe sur une sécante mobile autour du point P, est une droite, qui s'appelle lapoïaire du point fixe.
Soient a, p, -f les coordonnées homogènes du point lise P, /(a.,j.,2) = o l'équation homogène du cercle.
L'équation de la polaire du point P est
Le point fixe s'appelle l^ pâle de la droite (i).
{a) La polaire d'un point passe aux points de contact des tangentes menées du point à la circonférence.
(6) Tout pointaune polaire et toute droite du plan est la polaire d'uD point de ce plan.
Soient
l'équation d'une droite,
celle d'une circonférence fixe.
Le pôle de la droite (2) a ses coordonnées a, jî. "/ fournies par les équations
(c) Quand une droite passe au centre du cercle, son pôle est rejeté à l'inilni dans la direction perpendiculaire à celle de la droite.
LieuK de pôles.
Si l'éqiiation de la circonférence ou celle de la droite renferment un paramètre variable, le point défini par les écjuations (3) sera mobile et l'équalion dii lieu sur lequel il se déplace s'obtiendra en éliminant le paramètre vanablc entre les équations (3).
i. Lieu du pôle cfitne droite de direction fixe par rapport à une série de cercles concentriques.
Plaçons l'origine au centre fi\e; l'étpiation des cercles de l'énoncé est alors
X étauî, le rayon variable de ces cercles.
Soit
(2) Aa; + B7 + ,.-o
l'équation de la droite de direction fixe, ja étant un paramètre variable.
Si l'on désigne par a, ^ les coordonnées d'un point quelconque du plan, la polaire de ce point a poiir équation
Le point (k, 0) sera le pôle de la droite (a), si l'on a
On est donc conduit à éliminer les paramètres >. et ^. entre ces deux équations, ce qui n'est pas possible.
Mais il est à reoiarquer (Cbap. I) que l'une de"; équations de condition
Bt!-A.p = o
yGoosle
5a I™ PARTIE. — - GEOMEinlK k DEUX DlMEKSlO^iS.
est indépendante des paramètres variables, elle est Véquadon du lien. Ce lien est la perpendiculaire abaissée du centre fixe sur l'une quelconque des droites (a), résultat qu'on aperçoit immédiatement par la Géométrie élémentaire.
2. Former l'équation générale des cercles passant à Corigine et coupant l'axe des x sous un angle donné a. Lieu du pôle (Tune droite fixe par rapport à ces cercles.
[a) I.' équation générale des cercles, passant ù l'origine, est
Le coefficient angulaire de la tangente, à l'origire, est fourni par l'équation
dans laquelle on fait simultanément on obtient ainsi
cette quantité est constante :
^^ tangï -.- k.
L'éi[uation des cercles de l'énoncé est donc
{h) Soit
ax + by^c =.0
l'équation de la droite fisc; son pôle est défini par
o.-V-k^. ^ — ^ ^{ha — fA
yGoosle
Nous éliminerons rj. enlrc ces équations, de la manière suivante :
Appelons v la valeur comrtume des trois tapporls, on a
Des deux première on tire
valeurs proportionnelles de \i, et •> qu'il suffit de porter dans la 3* équation, celle-ci étanl homogène par rapport à ces deux variables. On a donc finalement :
(ap + b,.)(k,.-'^)- cikf.^x) = 0.
Le lieu representé par cette équation est une courbe du second ordre.
3. La polaire d'un point fixe par rapport à tous lea cercles du plan ayant même axe radical passe par un point fixe.
Soient C^o,r=^o les équations de deux cercles du système; l'équation générale des cercles de l'énoncé est
La polaire d'un point fixe {:<, (î, y) par rapport à ce e< a pour équation
iï(r;-i-xc;)-f-f5(r;+)>c;) + Y(r;+u;;)-=o,
qu'on peut écrire
ar; + ^ r; + yf; + X (^c; + c;. + -(CA) -^ o.
Cette droite, dont l'équation est de la fiarme D H- XD' — o,
yGoosle
