EL'X DIMENSIONS
d'un poinl du lieu au point P est en effet donnée pai'
(b) Celle seconde partie du lieu provient du cercle de rjyon infini, qui se confond avec Ox, la polaire de P devient la tangenle au point P; tous les points de Ox font donc partie du lieu.
Remarque I. — Le Heu que nous venons de trouver n'est réel que si «^ — «- >■ o, c'est-à-dire si le point P est extérieur au segment AA'.
Si les points A, A' avaient été imaginaires conjugués, il eût suffi, pour obtenir l'équation du lieu, de changer a- en — a^. On a alors, R* = x^ -\- a^. — Dans ce cas, le lieu est toujours réel.
5. Lieu du point de rencontre de la polaire d'un point fixe, par rapport aux cercles passant par deux points fixes, avec le diamètre de ce poinl.
Prenons {Jig- i5) comme axe des y la droite des points fixes A, B, et comme axe des x la perpendiculaire à cette droite en son milieu. OA = OB ^^ a.
L'équation des cercles de l'énoncé est
celle de la polaire du point P (2, fj) est
celle du diamètre de ce point (a, ^) est de même
On obtiendra l'équation du lieu du point M en éliminant },
entre Jes équations (a) ot (3) ;
(2) l(. + 2^)--(aa;+Jj-»')^--o,
(3) l(p-.,.) + xr-?a,=.o.
On a ainsi
Fig. i5.
.-•SX,
is
qu'on peut écrire successivement
œ{'j.y^f,x)-y{-j.x-\-'^y) + %{tLy~'pcc)
On reconnaît sous cette forme l'équation d'un cercle. L'équation (/^) montre que ce cercle passe par les quatre points d'intersection de
r + ï ^ o avec
U«+fj-a= = o [R]
L DEUX DIMEKSIONS.
ce qui le délermine coinplètemenl.
PR esL son diaraèlre. — On voit que l'équation
est celle de la polaire du point P par rapport au cercle X- -\- y'^ — a^ =^ o ajanl AB comme diamètre.
Solution géométrique. — Nous avons prouvé (p. 53 — 3 que la polaire d'un point fixe par rapport aux cercles ajant même axe radical passe par un point fise, intersection des polaires du point fixe par rapport à deux cercles de la série.
Donc, dans l'exemple actuel, la polaire du point P tourne autour d'un point fixe. — Le diamètre de ce point toiirne également autour d'un point fixe. - — Il reste perpendiculaire à la polaire mobile, le lieu de leur point commun M est donc le cercle décrit sur la droite joignant le point P au point fixe des polaires comme diamètre. Or, deux cercles de la série sont {fig- i5) :
i" Celui qui a pour diamètre AB; la polaire de P est la corde commune à ce cercle et à celui qui est décrit sur PO comme diamètre;
2" Celui dont le centre est à l'infini siir Ox; ce cercle dégénéré est l'axe des y. Le diamètre du point P est la parallèle à Ox menée par P. La polaire du point P par rapport à ce cercle est donc parallèle à Oy. — Nous déterminerons sa position en remarquant que le point C (rencontre du cercle ^|^ avec le diamètre de P) est conjugué liarmonique d'un point rejeté à l'infini, par rapport au segment ayant pour extrémités le point P et le point de rencontre cherché de PC avec la polaire qui nous occupe : Soit P, ce point, C est le milieu de PP,, Donc P, coïncide avec 1", svoiélfique
