CHAP. III. — CERCLE

de P par rapport à Oy. — La seconde polaire est ia parallèle à Oy meniie par P' : elle rencontre la première en B. PR est le diamètre du cercle-lieu.

Remaboue. — n esl intéressant de rapprocher les deux solutions qui précèdent :

i" Les polaires de V passent par unpoiiu fixe.

L'équation (3)

met en évidence ce résultat, le point fixe est l'intersection des droites

Voilà le fait; la solution géoméulque nous montre la cause qui îniroduil cette droite a; -h a = o.

Elle est la polaire du point P par rapport au cercle dégénéré yy' .

2" he diamètre du cercle-lieu est PR.

La solution analytique nous donne ce résultat indirectement, par l'indication des points S et P' par lesquels passe le lieu. ^ S et P' sont des sommets d'angles droits dont les côtés passent en P et R.

3" L'équation dii lieu peut s'écrire :

elle ne change pas quand on change entre elles les lettres, ic,>', a, ^. On en conclut que les points homologues P et M sont réciproques, c'est à- dire que, si l'on prend une position du point M sur le lieu précédent comme fixe — qu'on fasse en sens inverse la construction indiquée — on déduira pour chaque cercle de l'énoncé une position du point P; le lieu

6o l'"'^ P.VtlTIIÎ. — fiEOMETBIË A DEUX DIMENSIONS.

de ces poiiiLs P est le même tjue celui du point M dans ia queslion que nous venons de traiter.

Ce cercle est donc le lieu des points du plan qu'il faut choisir, pour que, le lieu de leur conjugué harmonique par rapport au segment déterminé sur le diamètre de ce point par les ceroles passant aus points fixes A et B, soit le même que le lieu de ces points,

III. — ÉoIjMTJOS QUACRATIQUf. DU FAISCEAU DES TANGENTES MENÉES PAR iiN POlNTfï.flJA UN CERCLE / (a:,/) = CI, — SoN EMPLOI.

L'équation de ce faisceau est

fxi fyi f's étant les demî-dérivées de la fonction f{x,y) rendue homogène.

Elle devra être employée chaque fois que l'on aura à chercher le lieu lies points du plan par lesquels on peut mener à un cercle fixe des tangentes assujetties à une condition géométrique.

L'équation algébrique exprimant cette condition est l'équation du lieu des points {a, p) remplissant la condition de l'énoncé.

Si l'on impose deux conditions aux tangentes, chacune des équations algébriques obtenues donne le lien des points du plan remplissant la condition géométrique que cette équation exprime : les points communs aux deux lieux obtenues satisfont à la fois aux deux conditions données; il n'existe donc qu'un nombre limité de ces points.

Si le cercle auquel on mène des tangentes n'est assujetti qu'à deux conditions , il existera un lieu de points par lesquels on pourra mener à tous ces cercles des tangentes assujetties à deux conditions.

1. On donne le cercle dont l'équation est, en coordonnées rectangulaires,

On demande de trouver le lieu des points du plan par lesquels on peut mener à ce cercle des tangentes telles que le rectangle construit sur leurs abscisses à l'origine ait une sur/ace constante égale au carré construit sur l'abscisse du centre.

L'équation du lieu cherché s'obtiendra en écrivant que le produit des abscisses à l'ongine des tangentes issues d'un point (a, (3) du plan, a la valeur donnée a^.

Or, l'équation du faisceau des tangentes issues du point (a, p) au cercle donné est

.fi=-a».

-n) + Pj'

- aa, + ,]•---

L'équation aux

ab.c

isses

ù l'origine s'oblienl

eu

fai

sanl y~o:

{^^-^ax + i){a- +

ou, en ordonnant

L'équation du lieu chf

îi-clié

est donc

qui exprime que le

produ

il des

racines a 1e

i valeur constante <:('

c'csl-à-dire

-».)^oj

dès lors, Unt que ]

■Jol

'équation s

i'écril

b'I. I'' PARTIE. GEOMETIilE ,V DI

c'esl celle d'un cercle dont le centre est à l'origine et le rayon égal à a, abscisse du centre du cercle fixe.

Si a^ — I -: o, le rayon du cercle est nul, il n'y a plus de

2. Trouver le lieu des points d'où l'on peut mener à un cercle des tangentes faisant entre elles un angle donné.

Plaçons l'origine au centre du cercle fixe; soil M(a, ^) un point du lieu; l'équation cjnadratique du faisceau des tangentes menées de ce point au cercle ayant pour équation

(I) ^V.Hj^lV=;0,

est

obtenue en appliquant l'équation générale

Les parallèles à ces tangentes, menées par l'origine, ont pour équation

c'est-à-dire

L'angie de ces droiLes est fourni par