I. — Marche générale

Si les coefficients d'une équatioa du second degré sont variables, la conique qu'elle représente sera variable, en général, de nature, de forme et de position.

Pour discuter le lieu géométrique que peut représenter une équation de ce genre, on formera la caractéristique S = AC — Bï

dont le signe donnera la nature de la conique.

On reconnaîtra s'il existe des cercles dans ce système de coniques en discutant les équations

Toutes les solutions de ce couple donnent des cercles réels ou imaginaires suivant le signe de la fonction

oii (a, b) sont les coordonnées du centre du cercle, c le terme constant de l'équation.

Les solutions de l'équation

A + Czizo donnent les hyperboles équilatères du système.

On formera ensuite i et l'on discutera l'équation A= o. Elle fournit les valeurs du paramètre pour lesquelles la

conique représentée par l'équation donnée devient im système de droites, ou la relation qui doit exister entre /es paramètres pour que la conique se réduise à deux droites.

Ces droites sont :

i" Réelles et se coupant, si les paramètres qui les donnent satisfont à S < o,

2" Imaginaires [se coupant en un point réel) si ces valeurs satisfont à 5 >■ 0,

3" Parallèles, si l'équation S ^ o est satisfaite. Dans ce cas les droites sont :

réelles et distincte

■s, slAF

confondues.

si AF

-Dî = o,

imasinaire..

si AF -

Remaboue. — On peiU écrire :

û, = (BE — CD)= — ( AC — B^)(CF — E^) - o.

Dans le cas où les coefficients A, E, . . . sont fonction de deux paramètres, les lieux auxiliaires dont les équations sont

■ AC-B' = o, CF — E' = o,

sont tangenls au lieu A ^ o, à leurs rencontres avec le lieu

BE.-CD = o;

nous retrouverons cette propriété générale dans les exemples quii

2. — Discussion d'une équation de coniques ne renfermant qu'un seul paramètre.

Lieu des points duplan dont le rapport des distances à un point et à une droite fixes a une valeur donnée.

Prenons (fig- 20) comme axes de coordonnées : i" la perpendiculaire Ox menée par le point donné O à la droite

fixe AB ; 2° la droite Oj perpendiculaire à la par le point O.

Soient a la longueur OD, M (x, y) on point du plan appartenant au lieu, et z la valeur donnée du rapport; s s'appelle l'exceiUricilé.

On doit avoir