MO

Ce lieu est du second degré et d'une nature variable avec la valeur du paramètre s.

Ordonnons l'équation :

Formons la caractéristique :

ï ne peut être que positif; donc, pour toutes les valeurs de î comprises entre o et i , on a ô >■ o, et les coniques (i) sont des ellipses, toujours réelles.

Toutes les valeurs de s comprises entre i et + oo donnent des hyperboles.

Enfin, la valeurs = i donne \ine parabole. Si s^o, quel que soit a, non inGui, la coiiîquo se réduit à

cercle de rayon nul, ayant son centre à l'origine. C'est le seul cercle du système. Cette équallon est aussi celle de deux droites imaginaires

a: -!- iy = o,

auxquelles on donne le nom de droites isotropes.

Il y a une seule hyperbole équilatère et la valeur de l'excentricité qui la donne satisfait à l'équation

Formons A :

Donc le lieu se réduit à des droites :

i' Si a^o, quel que soit e; la droite AB passe par le point O; l'équation de la conique est alors

Les droites qu'elle représente sont réelles ou imaginaires suivant le signe de (i — ■£-) ; elles sont confondues avec Ox dans le cas où la caractéristique est nulle.

a." Si £ = 0, nous avons vu que, quel que soit a, le lieu est le cercle de rayon nul

Remarque. — Dans la question que nous venons de traiter, le point O est un des foyers de la conique; AB est la directriee correspondante. La dcfiniliou donnée plus liaul est une propriété fonda-

Bo I™ PARTIE. — GÉOIXÉTBIE A DEUX DIMENSIONS.

mentale des sections coniques. Plus généralement, le point F, (a, b) étant un foyer et ce cos a, -\-y am a^ d ~ a la directrice correspon-

(fl;-a)^-i-(7-6)^-Xn^cosa+js;na-rf)^ = n

est l'équation générale des coniques ayant un foyer donné cï une directrice donnée.

3. — Discussion d'une équation renfermant deux paramètres variant séparément.

Nous avons trouvé au Chap. II (p. Z'j) les relations suiva entre les coordonnées des points M(x,y), M' (a;', y) :

ay

Cherchons le lieu décrit par le point M quand le point M' se meut sur un cercle de rayon R ajant son centre sur Ox.

L'étjualion de ce cercle est, en appelant c l'abscisse du centre

Nous obtiendrons l'équation du lieu du point M en remplaçant x' el y par leurs valeurs en fonction de 3; et de ^ ;

Va:' ; X-

c'cst-à-dire

(c- — H-)aî- -1- a'y'' ^'ia^cx -\' «'-— o.

{a) Proposons-nous de discuter la nature de cette conique ; formons la caractéristique