S = AC — B
yGoosle
Si s > o, c'est-à-dire c- — ■ R^ > o, la conique esl une ellipse toujours réelle; l'origine est exlérieiire au cercle décrit par le point M'.
Si 3 < o, c'est-à-dire c- — R^ < o, le lieu est une hyperbole ; l'origine est à l'intérieur du cercle.
Dans ces deux cas les axes de la conique sont parallèles aux axes de coordonnées, puisrjuc le terme en xy manmiic dans l'équation.
Si 3 =^ o, la conique est une parabole. Cette condition est remplie, soit par : a^z= o, quels que soient c et R, soit par c* — R^ = o, quelque soit a.
i" Supposons (ï ^ o, la conique se réduit au double a>;o des y
Ce résultat est facile à expliquer géométriquement. Si le point M a «ne position quelconque sur le cercle, la droite A= coïncide avec 0 y, le point B avec le point O ; BM' avec O^, la rencontre de OD avec BM' a donc lieu constamment en O. Mais quand le point M est sur O/, B esl quelconque sur celte droite; le point de rencontre de OD, ici O7, avec la parallèle à Occ menée par B est qiielconque sur Oy; cette droilu fait partie du lieu.
2" Supposons c- — R- = o ; la conique se rédul l à
c'est-à-dire
éqiiation d'une parabole ayant Ox pour axe et son sommet
3° Si l'on a simultanément
«=^0, t^-m=:o, 3 problème n'existe plus.
R. — Ex. de Géom. anal.
8ï 1'" PARTIE. — GÉOMÉTBIE A I>EUX DIllENSlOSS.
(b) Nous aurons comme lieu une hyperbole éqiiilatèi'c, si
c'est-à-dire
les longueurs a, c, R. doivent être les eôlés d'un triiinglr: rectangle dont R est l'hypoténuse.
(c) Le lieu sera un cercle si
c^ — Vc' — a-, c'- = a- +- K',
a, c, R forment un triangle rectangle dont c estl'hypoiénusc.
(d) Systèmes de droites. ~ Formons
A — ACF-HsBDE- AE^ -FB' — CD'; cette quantité se réduit ici à
La conique se décompose donc en un système de droite- ,10 ur
quels que soient c et R, et pour
R = o, quels que soient a et c.
La première hypothèse, a = o, donne ï^o; les droites sont du genre parabolique, résultat déjà obtenu.
La seconde hypothèse, R^o, donne S^o; les droites sont imaginaires, elles sont la limite des ellipses
quidcviennentévanouissante5pourR = o; l'équation devient, en effet,
{cx-a~-r-^aY-=o.
yGoosle
CHAf. IV. — DISCUSSION DE CONIQUES.
;ul point réel est le centre dont les coordonnées
1 d'équations du second degré dont les coerficients sont des fonctions ûe deus paramètres variaMes.
Nous avons trouve au Chap. III (§ I, 4) '*' condition
((ui esprime qu'un cercle dont le centre a pour coordonuées [\, n) et qui passe à l'origine, est taugent au cercle de rajou R et dont le centre a pour coordonnées («, b).
Cette équatiou en \, j»., est celle d'une conique, lieu des centres des cercles mobiles remplissant les conditions de l'énoncé. Nous allons nous proposer de discuter la nature de cette conique quand le rayon R du cercle donné reste constant et que son centre [a, b) est mobile dans le plan.
Nous remplacerons, pour faciliter la notation, X par x, \i. par y ; l'équation devient
L'ensemble des termes du second degré égalé à o s'écrit c'est-à-dive Formons la fonction S = AC — B-.
R étant constant, on aura des paraboles si le poini (a, b) sn meut sur la courbe dont l'équalion est
C'est un cercle ayant son centre à l'origine et R pour rayon
(fit'-")-
La fonction S ^^ R- — a- — b- est positive poui' la région
intérieure au cercle; donc, quand le point (a, i) est mobile à l'intérieur de la circonférence ( i ) le lieu du centre du cercle mobile passant à l'origine est une ellipse.
Quand le point (a, b) se meut dans la région extérieure au cercle le lieu de ce même centre est une hyperbole.
Cberchons la position que doit occuper [a, b) pour que le lieu du centre du cercle passant à l'origine soit
i" une hyperbole équilalère; on doit avoir
«' — R= -+- h' — R' = -> ou
Le point [a, b] doit se mouvoir sur un cercle ;iyant ^,00 centre à l'origine et pour rayonRy/a {/tg-. 'ti).
' un cercle; on doit avoir
'- - H= ^ b- - RS
ab— o.
La seule position du point {a, b) donnant un cercle, est l'origine des coordonnées.
