Application

On donne deux axes rectangulaires, Ox, Oj; un point G sur Ow, à la distance d, et un point A de coordonnées (a, ^) ; le point G est le centre d'un cercle de rayon R. Par le point A, on mène une sécante variable qui rencontre Oj en un point B; de ce point on mène des tangentes au cercle fixe, on demande : i° quel est le lieu du point M, de rencontre de la sécante mobile avec la corde des contacts des tangentes issues <i?e B; 2° quelle est la nature de ce lieu suivant la position du point A. dans le plan?

Le point M {fig- 32}, dont on cherche le Heu géoniétriquo, est à l'intersection d'une sécante quelconque issue de A

et de la polaire du point B par rapport au cercle dont l'équation est

Les coordonnées du point B étant

l'équation de la droite DE est

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86 1''^ PARTIE. GÉOMÉTRIE A l>EO!t DIMENSIONS.

On obtiendra l'équation dnlien cherché en éliminanb À entre les équations

- "-y-^ + lpy ^ <^{rf- ^) - R'] -^ "■

On obtient ainsi

(4) (^-0(?/-rf^ + rf=-TI=)-=.7(7-p)--=o.

Ce lieu est une conique P.

L'équation uiel en évidence quatre poinls par lesquels elle

passe. Ces p i

!37 — dx -^eP — Vc — n

P7 - dx -i- (/■= — R^ -

CH\P. IV. — DIBGUSBiON DE CONIQUES. S;

est la polaire du point H par rapport au cercle; les Cjualie points sont donc A, K, F, G.

L'éqnation (4) peut s'écrire (5) rfa^= — pa;/-|-œ^'~[rf(rf + a) — R-]^+^(^= — Il^) = o.

Nous allons discuter la nature de cette conique 1' i|Liarid le point A est mobile dans ie pian,

(a) La caractéristique S = AC — B^ csi.

r est donc une parabole quand le poiot A est mobile sur la parabole F' dont l'équation est

r' est tangente à l'origine à l'axe des^; sou fojcr est iwi point dont les coordonnées sont

c'est le point C. La directrice correspondante a pour équation

La conique F est une ellipse cbaque fois que le point A est dans la même région de V que le point C. C'est une hyperbole pour toutes les posilious occupées par le point A dans la région opposée.

r est une hyperbole équilatère quand le point A se meut sur la droite a + 6Î=o, c'est-à-dire sur la directrice de la parabole.

Enfin F est un cercle quand le point A coïncide avec le point C

Nota. — Ces résultats serout expliques fatileuienl après lecture -lu § ni (lu présent Ci.apitre.

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