V Ï>ABT1E. — GEOMETRIE \ DEUX I

(b) Cherchons quel est le lieu des positions du point A pour lesquelles F devient un système de droites.

Le diseriminant i de la fonction premier memlire s'écril

r sera un système de droites lorsque le point A se déplacer» sur l'un des lieux

(2) rfa-S- p\/R^ — d- +ï{- — d- — 0,

(3) da py/Û^Z."^+ Rî „ tt- =: o.

Ces dernières droites ne seront réelles que si l'on a R- — (^^ > o.

Le cercle coupe alors Oy aux points P et Q (Jlff. aS). On construit facilement les droites (a) et (ô) en joignanl le pointF aux points P et Q.

On reconnaît également que ces (Ivoitcs sont tangentes a parabole

aux points

résultat général déjà indiqué (p. ^^ — Rem.)

Dès lors, quand le point A coïncide avec l'un des points O, R, S, la conique T est nn système de droites parallèles réelles et distinctes, car la fonction (ÂF — D*), qui est ici

ftda{cl' — R-) — [rfï -^ [d- — R^)]-, c'est-à-dire

— ld.y. — {d'- — R^)y,

est toujours négative.

Tous les autres points des droites FP, FQ, PQ, pris comme position du point A, font que la conique F est un système de droites réelles se coupant; en T, U, ces droites sont rectangulaires.

Revenons à la distinction des points donnant des ellipses réelles de ceux qui donnent des ellipses imaginaires, a, d sont positifs ; tous les points à l'intérieur de la parabole donnent le signe — à la fonction

\ = — a[{da.~-d'--^,-ÏV-y--f(lV-—d^)i.

r ne peut donc être qu'une ellipse réelle.

IJO l'f PARTIE. — GÉOHBTRIEA DEUX DIMENSIONS,

discussion précédente : mais quelques points de i-epéie permettent de reconnaître l'existence de cette faute :

1° Les cercles du système, s'ils sont réels, doivent correspondre à une position du point mobile située dans la région des points donnant pour r des ellipses r<5elles ;

2" Les hyperboles équilatères doivent correspondre à des points situés dans lu région de cens qui tlonnenl des hyperboles ; etc.

§ II. — De l'homographie.

Avant de donner une solution géométrique des principaux résultats de la discussion précédente, nous allons énoncer et démontrer un théorème général, extrait d'une des plus belles théories de la Géométrie moderne, {'Homographie; il nous suffira pour étudier la plupart des propriétés des coniques.

Ne pouvant aborder dans le cadre que nous nous sommes impose l'étude générale de l'Homographie, nous démontrerons isolément les quelques propriétés que nous emploierons par la suite.

Définition. — Une relation entre deux paramètres ï^, ;/, est dite homographique quand elle est de la forme AXij. + BX + Ch- + D = o.

Si cette i-elation est symétrique par rapport à ), et rj. nlio est dite mco/«î(Ve ou dHnvolution (*).

La relation homographique est la relation la plus générale qui puisse exister entre deux paramètres en restant linéaire par rapport à chacun d'eux.

Elle est caractérisée par ce fait qu'à toute valeur de l'un des paramètres cori'espond une, et une seule, valeur de l'autre .

Si donc on peut démontrer par des considérations géométriques qu'à toute détermination d'un élément d'une figure

CI Notre Maître regretté, M. Vaseille, a publia une Théorie de l'Involution du. second degré â laquelle nous renvoyons nos leclcurs. Ils retrouveront dans celte étude la clarté et l'élégance qui caraclérisaicnt son enseigneraeiii.

correspond une délermination unique pour un autre élément, et que réciproquement à une détermination unique du second élément correspond une détermination unique du premier, on dira qu'il existe entre ces deux éléments une relation homographique ; on pourra alors conclure à l'existence de toutes les propriétés qui se déduisent de cette relation.