Théorème

Si deux droites tournent autour de deux points fixes et s'il existe entre les paramètres qui en déterminent la position une relation homographique, le point commun à ces droites décrit une conique passant par les deux points fixes.

Soit Z r= o Téqualion de la droite des points fixes ; X = o, Y^o celles de deux droites qui, par leur intersection avec Z z= o, déterminent les points fixes A, B.

(j) X-hXZ = o

est l'équation générale des droites passant en A ; (•i) Y + ,..Z = „

est l'équation générale des droites passant en B.

Soit (3) Ai;j. + B>. + Cij. + D = o

la relation homographique existant entre les paramètres >,, \i. qui déterminent ces droites.

On obtiendra l'équation du lieu de leur point commun eii éliminant)., ja, entre les équations (i), (2), (3).

Pour cela, on rend homogènes les trois équations vX-i-XZ— o,

yGoosle

. DEUX DIJiESaiOSS.

et l'on porte dans la troisième les valeurs proporllonnelles <le À, |j,, 'j, tirées des deux premières

ce qui donne

(/,) AXY — (13Y-rCX)Z + DZ5^.o,

ik[uation d'une courbe du second ordre, P.

L'équation (4) est vérifiée quand on y l'ait simolliméinen

la conique passe donc en A et B.

Elle ne passe pas en général par le troisième sommet dvi triangle X = o, Y = o, Z =; o ; mais ce sommet devient un point de la conique quand D == o, c'est-à-dire quand la relation homographiqne admet, comme solutions, des valeurs simultanémeni nulles de î. et de y..