Cas de décomposition

Si l'on applique au polynôme

la condition obtenue en Algèbre pour que ce polyjîome se décompose en un produit de facteurs, on trouve

A(BC-AD)^o.

Donc la conique F se décomposera en un système de droites : i" Lorsque A^o, l'une des droites est aloi's Z^o, la ligne des points fixes, l'autre est

BY-i-CX — DZ.- o;

yGoosle

flKAr. IV. — DISCUSSION DE CONIQUES. !)■

elle peut occuper une position quelconque dans le plan, suivant les valeurs de B, C, D ;

a" Lorsque BC — AD = o, la relation (3) devient, en multipliant par A et en tenant compte de la condition BC- ADr^o,

(5) A-V hA(B>, + Ci,.)^-BC-:o;

elle se décompose en

Ay.^B=^ o-

Les droites en lesquelles F se décompose sont donc AX — CZ =^ o droite passant en A, A\ - BZ :■■- o droite passant en B.

B.F.MAiiouE. — Les propriétés d'un lieu géométrique si; classent en deux catégories :

i" les propriétés indépendantes du chois; des coordonnées, qui sont les propriétés absolues du lieu ;

2" les propriétés qui dépendent des éléments pris pour la définition : axes, système de coordonnées, etc.

Comme chaque propriété se traduit par une relation entre les coefficients de l'équation, il est intéressant de pouvoir distinguer les relations absolues de celles qui changent avec les éléments de la définition.

La théorie algébriqiie des invariants apprend à connaître celles de ces fonctions qui correspondent aux propriétés absolues. Au point de vue algébrique nous n'emploierons dans ce qui va suivre que le théorème suivant ;

■Si dans une fonction algébrique homogène du second degré on fait une substitution linéaire et homogène, le discriminant de la nouvelle fonction est égal à celui de l'ancienne multiplié par le carré du module de la substitution .

1)1 ["■ !>ARTIU. — (iliOUHTRlE .V DErX DUIENSIONS.

Le module de la substitution est le déterminaul des coefficients de la substitution.

Ce théorème a une importance capitale dans la comparaison des résultats obtenus, en discutant un lieu du second degré au moyen d'une relation homographique qui le définit ou au moyen de l'équation cartésienne de ce lieu ; les discriminants des deux fonctions diff"èrent par une puissance du module de la substitution à faire, pour passer de l'une des équations à l'antre. Ce facteur doit être séparé dan.s la dis-