Autre solution du problème 5 (| I

Si nous revenons au problème précédent, nous pouvons atteindre un certain nombre des résultats obtenus par l'analyse au moyen du théorème que nous venons de démontrer.

[a) Quand la sécante AB (Jig- 22) tourne autour de A, le point B, pôle de DE, se meut en ligne droite, sa polaire DE passe donc par un point fixe, intersection de deux polaires dn système. — Ces deux polaires sont, par exemple : 1" celle du point à l'infini sur Oy, c'est-à-dire O.*;; 5" celle du point O ; on l'obtient en décrivant un cercle sur OC el en prenant la corde commune FL : F est le point fixe ; on a, sur la figure,

OL' -. OC X OF, c'cst-à-dirc

Ce résultat est en évidence dans l'équalion de ly polaire deB

(3) if,.-^.l-^)y-^d{d-w)-lV.-^.o,

qui peut s'écrire

n'esl donc unt; droite LournaiU auLoiir du point Ii>ic

pj~-dx^(P — K- = o.

[b) La spcante mobile autour du point Adonne, pour chacune de ses positions, un point unique B; ce point B a une polaire unique DE; réciproquement, si l'on prend une position quelconque de DE, on obtient un point unique B en prenant la rencontre de l'axe des jk avec la perpendiculaire à DE menée par le point C. Donc les droites AB, DE, tournant autour de deux points fixes, se correspondent bomographiquement. Leur point commun M décrit une conique passant en A et F.

Celai de DE est

En éliminant /, entre ces deux équations ou obîlent :

(3) a//iHi'-f.m' + rf = o.

La connaissance de cette relation va nous permettre de discuter la nature de la conique F que nous étudions sans écrire l'équation de cette conique. V aura des points à l'infini si les droites AB, DE peuvent devenir parallèles, c'est-àdire si l'équation (3) peut être vérifiée quand m^ m'.

On a alors, pour équation aux coefficients angulaires des directions asymptoiiques,

(4) ^m'--pm^d = o.

Le faisceau asjmptolique sera double, c'est-à-dire que V

sera une parabole, si

C'est le lieu des positions que doit prendre le point iV pour que la conique-lieu T soit une parabole.

Le point A doit se mouvoir dans la région définie par

pour que F soit une hyperbole. S'il se meut dans la région opposée, r est une ellipse.

Dans le premier cas, l'bjperboie sera équilatère si ses

directions asjmploliques sont rectangulaires, c'esl-à-dire si le produit des racines de l'équation ( 3 ) est égal à ■ — ■ i ; celte condition est réalisée par les points de la droite a.^d — o.

Dans le second cas, l'ellipse T deviendra un cercle, si l'équation (4) se réduit à

c'est-à-dire si l'on a

s ont été obten

[d) On peut montrer facilement {Jtg- ^4 ) que, si le poinï A vient en C, le lieu da point M est un cercle décrit sur FC comme diamètre, résultat qu'on vérifie analytiquemenl.

En effectuant la construction générale, on voit, en effet,

que la polaire DE reste perpendiculaire à ^; DE tourne, d'aillcurS; autour du point fixe F.

{e) Cas de décomposition en systèmes de droites. — Pour appliquer ce que nous avons dit relativement à la décomposition de la conique-lieu en systèmes de droites, nous allons transformer nos équations pour mettre en évidence la droite AF des points fixes autour desquels tournent les droites génératrices.

La droite AF a pour équation

(5 / rf^-Rn

ipose

Lt être défin

i comme intersection de Z ^ o

De même, en posant Y ^y, le point F est à l'intersection de Z ^ o avec Y = o. Une droite quelconque menée par A a pour équation

Cette droite sera confondue avec AB si les coefficients angulaires de ces droites sont égaux. On aura alors

gS l'" l'ARTIE. — G

De même, une droite issue de F,

Y 4- i^TL^ soii! confondue avec DE si l'on a

p — ).X [d^-rd^- 4-ll-)Tt-i-L

On obtiendra la relalion à établir entre et t., en élimlnanl A entre ces deux équations :

6(</a — rf^ -^ r.=)î, — (prfO — j) -■ o, af,-K 1+ \ (da — rf- + R^ — fl') t: + ij =0,

ce (jiil donne

6(rfa-.:;^ + R=)[{rfc. — fP^R' — f^)7:-^il-l-<;^(,Bt/0 — ;) = o

{da — d- -r l\^){dy. — d- -T- R2— ^' + ïfiVOfe