rfï. -- £^ -l~ R' ) fJ — a^ir = o, c'est-à-dire
[(<:Za — rf' + R=)= — ^'(R'^ — </')]0-H-((;ï.— iP + R')0 — aSTt^o.
Celte relation homographiqTie ne renferme pas de ternae constant ; la conique-lieu passe donc par le troisième sommet
dii triangle de référence. — Ce sommet est le point G. La conique-lieu devient im système de droites quand on a
on retrouve les conditions déjà obtenues :
i/U -d'--+- R^)= — >-(!*- - cl^) ■■=- o
yGoosle
et, do phis, le facLeiii*
p{da. — iP-hïi-).
Voici son origine :
On passe de la relalion homo graphique
h l'cqnation cartésienne de la conique, en opérant la substitution
et l'on obtient ainsi
qui diffère de l'équation trouvée précédemment par le facteur
p(rfa — rf^ + R").
Le discriminant A' de l'équation {2) est donc
A' ~ Ap' {drj. ~ d- -h V>.-y\
en appelant A le discriminant de l'autre équation cartésienne qui se trouve ici entre crochets.
Le discriminant A, de l'équation (i) se déduit de celui de (2) en multipliant ce discriminant par le carré du module delà substitution permettant de passer de l'équation (2) à l'équation (i); substitution inverse de celle qu'on a i'ailc plus haut. Or, ce module est
h(dz — d''-i-R-) On a donc
yGoosle
- GËOMETRIE k DEUX DIMENSIONS.
Le facteur ^ [dx — d^ ~+- R*) a été introduit par le changcmeiil de variables; il dépend des éléments de la défini-
4. On donne un cercle fixe, une droite fixe LL' et un point quelconque A.. Par A. on mène une droite AZ qui rencontre le cercle en B, C et la droite ÏÂJ en D ; on demande le lieu du conjugué harmonique de D par rapport au segment BC, lorsque la droite AZ tourne autour
Discuter le lieu obtenu suivant la position du point A dans le plan.
Solution analytique. — Prenons (^g- a-^) <
^omme uses
Fig 25.
de coordonnées deux droites rectangulaires se coupant au centre du cercle, l'une d'elles étant parallèle à la droite LL'. Soil
l'équation de cette droite,
celle du cercle, a, ^, les coordonnées do point A.
Un point M du lieu étudié est à l'intersection de la sécante A^ et de la polaire du point D par rapport au
L'équation de As est
Les coordonnées du point D étant
x^ i=.d, ji ■— P + ^- («^ "- »)' l'équation de sa polaire est
(4) rfa. + |-p + X{rf-a)]j--R'=--=o.
On obtiendra donc l'équation du lieu du point M en éliminant >, entre les équations (3) et (4).
Or, l'équation (3) est celle d'une droite passant constamment en A, quel que soit X; l'équation (4) est celle d'une droite passant, quel que soit \, au point F intersection de la droite
dx^^y — W — o, polaire de H j '~ „'
ce point est situé sur 0^, à la distance OF =■ —^ •
Les droites se correspondent homographiquement : le lieu du point M est une conique qui passe aux points A et F. On peut écrire
rf^ + P7--R-+((^-ï)Xj
liW l'= PARTIE. — GKOJIKTB[Ii A DEUX DUiENSIONS.
On a finalement (5) {y~^}{d-a.)y^ix~zL){dx-f,y-Rn = <> comme équation d» lieu clierclié.
On y voit en évidence qiiatre points :
__ i iC— a = o, E,
■^ ~ \ d-r -^ Py ~ 'R' 7=^ o, F déjà obtenu ; i x — X — : o, A déj^ obtenu,
Quels que soient a et g la conii^ue passe au point fi\e F.
Discussion. — L'équation (5) peut s'écrire 6) {d ~ a) f^ +■ X (dx -i- ^/)
- p (rf- a) j -a {rf^ ^.. ^y) - HV -I- aR^ '--. o ou
(7) dx^ + ^i):y -^^ (d — c.) y^ — (da-^H^) x— pdy + ^IV- o.
Cette conique sera une parabole si le point  est moliile sur le lieu dont l'équation est
C'est une parabole ayant Ox comme axe ; son sommet est au point S, rencontre deLL' avec O a:; son paramètre est a</; sans foyer est en O, etc.
Toutes les positions du point A, à l'intérieur de cette parabole, donnent pour la conique (^) une ellipse, etc.
( Voir la discussion de la question précédente. )
Solution géométrique. — Les droites As, FM, dont l'intersection engendre le lieu, tournentautourdedenx points fixes et se correspondent liomograpliiquement ; leur point commun engendre une conique passant en A et F, etc.
ons (lit plus haut peut être appliqué ;3t qu'une transformation de la prii-
Toul ce que noiis à cette question qui cédente.
Notre but est d'obtenir l'équation (^) que nous rons au Ciiapitre des lieux de centres.
111, — DisctissroN GÉsÉi
DB CONIOUES Do:^ 3 COEFFICIENTS FONCTIONS LINÉAIBES DE DEUX PARAMÈTRES.
Nous nous proposons, dans ce qui Ta suivre, de discuter la nature et la position d'ime conique F dont l'équation a tous ses coefficients fonctions linéaires de deux paramètres variables.
Salmon a montré {Sections coniques, 388) que l'étude de certaines propriétés d'un système de coniques dont l'équation est (0 o'.UH-[ïV-hW = o,
a, g étant deux paramètres variables,
tes équations de trois coniques du plan, est intimement liée à celle des courbes du troisième ordre. Certains résultats lui sont fournis avec beaucoup d'élégs.nce [Courbes planes) par les propriétés des formes algébriques.
On peut, en modifiant la forme de l' équation (i), faire l'étude de ce système de coniques sans sortir du programme de la classe de mathématiques spéciales.
Posons {axes rectangulaires) :
■■xy
-i-Cy'
2Ey
\'xy
aD'x
aE-7
Vxy
