V PARTIE

— GÉOMÉTRIE A DEPX DIMENSIONS.

relation

ou

entre les coordonnées variables d'wn point dn plan, est la condition nécessaire et suffisante pour que ce point jouisse de certaines propriétés géométriques imposées, nous dirons que cette équation

est l'équation du lieu cherclié.

3, — Marche à suivre pour trouver l'équation d'un lieu géométrique.

Choix des axes. — En général, on donnera, dans ce qui va suivre, les axes de coordonnées; mais si l'énoncé n'en fait pas mention on devra commencer par faire le choix des axes à employer. Pour cela on examine avec soin si certains points ou certaines droites jouissent de propriétés particulières (centre ou axe de symétrie, par exemple) qu'il est simple de mettre en évidence : on prendra ce point comme origine, ou cette droite comme axe de coordonnées.

Nous reviendrons plus tard sur cette question, souvent assez délicate.

Mue en équation. — Un lieu géométrique peut être défini de deux manières différentes : i" par une propriété commune à tous les points du lieu; ou a" par le mouvement d'un point, dont chaque position s'obtient par la construction

CHAP. 1. — rRELlMlNAinES. 3

d'une certaine figure dont les différentes parties dépendent d'un paramètre variable.

Dans le premier cas, il sutBt, pour obtenir l'équation du lieu étudié, de traduire analytique ment la propriété géométrique donnée.

Dans le second cas, qui est le plus général, après avoir examiné si la construction indiquée est susceptible de simplification, on forme les équations de deux lignes qui, par leur intersection, donnent les points du lieu cherché.

On est ainsi conduit à écrire, en fonction d'un paramètre X choisi parmi les éléments variables de la figure, les équations de deux lieux géométriques auxiliaires :

On obtiendrait les coordonnées d'un point quelconque du lieu en résolvant ces équations par rapport h. X et à j'; on aurait ainsi des expressions de la forme

qui permettraient de calculer les coordonnées d'autant de points du lieu qu'on voudrait, en donnant à X des valeurs choisies à volonté.

Mais, outre qu'o« ne peut que rarement expliciter les fonctions F et i/, ce procédé serait long et ne donnerait pas la relation de forme constante qui existe entre les coordonnées d'un point quelconque du lieu étudié, relation qui est en quelque sorte la forme synthétique des conditions géométriques imposées à ces points et qu'il est toujours possible d'obtenir. De plus, sans cette relation on ne pourrait que difficilement reconnaître l'identité de lieux définis par des propriétés différentes dans la forme, mais qui, en réalité, sont corrélatives.

(i !■■= PARTIE, — GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS.

Les coordonnées des points de ces lieux s'exprimeraient, en effet, par des fonctions différant, à la fois, avec la définition donnée et avec le paramètre choisi.

Ces considérations montrent la nécessité de la recherche de cette relation caractéristique, entre les coordonnées d'un point quelconque du lieu, indépendante, à la fois, du paramètre choisi pour la mise en équation, et des propriétés prises comme définition.

Le théorème suivant a pour but d'indiquer comment on obtient cette relation, et de justifier le moyen employé.