Élimination

Définition. — On appelle résultant ou éliminant d'un système d'équations

tp(.c)---o, ^(,^).--o

la fonction R, des coefficients des polynômes premiers membres de ces équations, qui s'annule chaque fois que ces polynômes ont un facteur linéaire commun, c'est-à-dire chaque fois que les équations

ont une racine commune.

Soit le système d'équations

R = «f — èa' est l'éliminant du système, c'est-à-dire, s'an nule chaque fois que les polynômes ax -+- b, a'x + b' ont u facteur linéaire commun.

R = ni' — ba' ^ o

est donc la condition nécessaire et suffisanle pour que les éqiiations précitées aient une racine commune.

Les traités d'Algèbre donnent la formation as ces éliminants.

les équations des deux lieux géométriques auxiliaires, définissant par leur intersection les points du lieu dont on cherche l'équation; soit R {x,y) l'éliminant des polynômes premiers membres de ces équations.

Je dis que l'équation du lieu étudié s'obtient en égalant à o la fonction R (x,y).

Je vais, en effet, démontrer :

i" Que les coordonnées de tout point du lieu défini par les équations ( i ) vérifient l'équation

a" Que, réciproquement, tout point du lieu dont l'équation est

fait partie du système des points communs aux lieux, variables avec X, dont les équations sont

i" Les coordonnées de tout point commun aux lieuic

vérifient l'équation

yGoosle