I06 !'■" PARTIE. — GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS

Il existe une seule position de M qni donne à l'hyperbole des directions asjmptotiqnes déterminées.

Quand le point M vient en Â, l'hyperbole éqiiilalère F a ses asymptotes parallèles aux axes de coordonnées. Quand il vient en E, les asymptotes de cette hyperbole sont parallèles aux bissectrices de ces axes.

Il existe, en général, une position unique du point M pour

laquelle la conique F devient un cercle ; il faut, en cH'et, que l'on ait simultanément

Cette position unique est celle du point D.

Quant le point D est à distance finie, il est intéressant de considérer le cas où ce point devient un foyer de V-

Nous verrons plus tard que, dans le cas parlicnlier oà les tangentes issues d'un point F à la conique sont les droites isotropes, le point F est un foyer de la conique, et la corde des contacts de ces tangentes, la directrice correspondante.

Or l'équation

XY — Z= - o peut s'écrire

et sous la forme

on voit que la conique caractéristique F' est tangente aux droites

à leurs rencontres avec la droite dotible (X-i-Y)^==o. Dès lors, si les droites

— - — — iZ — o

sont parallèles aux droites isotropes, le point C est un foyer et la droite X + Y = o la directrice correspondante.

Chaque fois que cette circonstance se produira, le point M (a,p) devra se mouvoir sur la directrice X + Y = o de la conique caractéristique F' pour que F, celle du faisceau, soit une hyperbole éqtiîlatère; et il devra coïncider avec le foyer correspondant à cette directrice, pour que la conique du système devienne un cercle {').

(') Ce résultat, rencontré par nous dans un grand nombre de problèmes différents, nous a donné l'idée de rechercher les conditions générales dans lesquelles on doit se placer pour qu'il se produise.

, — GEOMEIHIE A DEUX