CHAP. V. — TANGENTES
X, Y étant les coordonnées couranies; ce, y ccllts du i)Ouil ilc
(è) L'équation de la tangente en fonction du cocrficieiu angulaire
(c) L'équation aux coefficients angulaires des tangentes à l'hyperbole issues de (a, p)est
(d) Les coordonnées d'un point quelconque de i'Iiyperboie sont
étant l'équ-jtion de la courbe, celle de la tangente au poinl est
pX--yY-i-px = o.
(b) En fonction du coefficient angulaire, l'équation de la tj
( c) L'équation aux coefficients angulaires des tangentes is point (a, p) à la parabole est
§ L — LiBDX GBOMÉTniQDF.S.
1. Lieu des points de contact des tangentes coniques représentées par V équation
x^ ~\~ aiay -i- v^ — a- ^^o,
parallèlement à la première bissectrice.
Les points dont on demande le lieu sont à l' intersection des coniques représenlées par Téqualion donnée avec la
T:jn !'■! PAUTIE. — GBOIMKTBIR \ DEUX BIMESSIONS.
polaire du point à TÎTifiiii dans la direction dont \u cocfllcient angulaire est i .
On obtiendra donc Téqualion de r,e lieu en éliminant /.
(a) « + Xj-^».+j = <,.
On peut écrire la seconde équation
Le système d'équations se décompose donc en deux
\ a:' -h almy + r' - a' —o, *"' i , + l = o.
Dans le système (3), l'une des équations est indépendante du paramétre X; elle représente la partie du lieu total correspondant à ce système.
Le système (4) donne comme seconde pavlie du lieu cherché
c'est-à-dire deux droites parallèles à la première bissectrice el ayant pour ordonnées à l'origine + a et — a. Le lieu se compose donc de trois droites
On peut se rendre facilement compte de ce résiiltat.
L'équation donnée est l'équation générale des coniques passant aux quatre points A, B, C, D d'intersection des axes avec le cercle x'-' ~-\'y- — a^ ^ o.
L'équation aux coefficients angulaires des diamètres conjii gués de ces coniques est
'es l- à- cl ire
En général, le coefficienl angulaire de la direction con-
juguée de celle de la première bissectrice est — i ; la polai du point à l'infini par lequel on mène les tangentes est do lise ; elle est le lieu des points de contact.
Mais si X + I = 0, m' a une valeur quelconque.
La conique devient à ce naoment
-yr-.-a^=.<,;
elle se compose des droites AD, GB.
Les seules droites pa:
plus d'un point commi
bissectrice aya i avec la conique sont ces droit
l-iî 1" PARTIE. ~ GEOMBTUIlî A DETJS DIMENSIONS.
elles-mêmes; les poinls de contact sont quel conclues sur cliacune d'elles; elles font donc partie du lieu,
2. Lieu des points de contact des tangentes menées, parallèlement à une direction donnée^ aux conigues représentées par l'équation
(') JÏ+ x^ + t.. — ■="■
Soit m le coefficient angulaire de la direction donnée ; Ic.i [joints dont on cherche le lieu sont à l'intersection des coniques (i) et de la polaire de la direction m.
L'équation de cette polaire est
ï-^ ^ '" FTP
On est
donc conduit à éliminer
le par.
<Jr[ualions
la seconde donne
r-(j:+iny) + c-
ol,ensub:
stituant d
lans la première
T- myj
ou eii mettant sou:
s forme entière
c^^yims
■~y)(œ + my)
-hC^^J'.
Ce lieu
se décompose donc en
(ma
!-fl{ir: + my)
+ C'Ot:
L'équation ( 5 ) esL celle d'une hyperbole éqiiilalère ajaiiL pour asymptotes les droites
mw — jTi^o, a:\-my--o, et pour puissance c^m; on la construit facilement.
Quant à l'équation (4), elle représente les deux a^s de coordonnées.
Nous verrons plus tard que l'équation (i) est celle d'un système de coniques liomofocales rapportées à leur centre et à leiirs axes communs.
Deux coniques du système sont :
i" Une double droite coïncidant avecae; toute transversale rencontre cette conique en deux points confondus, elle est tangente analytiquement : l'axe des X, comme partie du lieu, provient de cette conique spéciale.
a" Une douille droite coïncidant avec l'axe des j', qui est, pour la même cause, une partie du lieu étudié.
3. Lieu despoints de contact des tangentes menées par un point fixe à toutes les coniques ayant un foyer donné et une directrice donnée.
Prenons la directrice donnée comme axe des y, le foyer sera situé sur oxk une dislance a.
Nous avons vu, Cliap. IV (g i — a), que Téquation géoi'rale des coniques de l'énoncé est
(1) {:^~aY + y'-\'x^ = o.
Les points de contact des tangentes menées d'un point («, p) à ces coniques se trouvent sur la polaire de ce point; l'équation de cette droite est
On est doue amené à éliminer X'^ entre les équations (,)el(2).
isi V PABTIË. — GÉOÏIËTKIK ,V DEUX DIMENSIONS.
On obtient
{3} a.œ[{œ - ay+y-] - x'-[{^ - a){x - a) ^ py]^^- o, lieu du 3'' degré, qui se décompose en (4) .''■■ = o,
provenant de la parabole singulière
donnée par des valeurs inlinies de î^ ; et la conique F
dont on peut écrire l'équation
Les coefficients Aex^, xy et je* sont des fonctions linéaires de a et p ; les côtés du triangle de référence, Y := o, Z = o (Chap. IV, § 3), sont ici
Quant au côté X =^ o, il est transporté à l'infini ; la caractéristique du système est une parabole. — On reconnaît de plus que le triangle polaire conjugué par rapport à celte conique a pour sommet intérieur le foyer de la parabole, etc.
On pourrait donc facilement discuter la nature du lieu (6) d'après la position que le point A occupe dans le plan, en appliquant la méthode rappelée plus haut.
4. Lieu des points d'où. Von peut mener à une conique, des tangentes interceptant sur une droite donnée un segment de longueur donnée.
Supposons la conique placée d'une manière quelconque dans le plan, et soit
son équation.
Nous définirons la droile fixe par im de ses poinLs A(a^li) et son point directeur {p,q)', son équation est alors
y éUnl la distance du point {x^y) au point fixe (a,b).
L'équation quadratique dn faisceau des tangentes issues d'un point (a, g) à la conique (l) est
(3) /(.Tj-)-/('-,p) - (^/i + p/;. +- ■!/'.)' = ■'.
Soit
cette équation.
Ses coefficients sont fonctions de a et de [S. L'équation aux rayons vecteurs des points de rencontre de la droite (2) et des tangentes (4) est
(5) r='^{p,q) + 2r{p,^'^ + qtf',,) + ^{a,b) = o,
tL(x,jK) étant l'ensenable homogène des termes du second degré de la fonction {x,y).
En appelant r,,!:, les racines de cette éqTiatiouj on doit avoir
l étant la longueur donnée, on en conclut
Or
, ,. rKM.
L'équation du Heu étudié est doiic
(7) iliPt'. + Iflr-- ?(o,6).4(/>,î)l-(«f (,,,,) = <,.
- GÉûauTIllE \
Les coefficients de <([a!,y) élant fonctions du second degré de « et de g, l'équation (7) est du quatrième degré.
Nous allons donner un cas particulier dn probîcme dont on vient de lire la Bolnlîon générale.
5. Lieu des points d'où l'on peut mener à une ellipse des tangentes interceptant sur une parallèle à l'un des axes de cette ellipse un segment de longueur donnée.
Pr,
s{/ig. 30 PO"^
l'ellipse : l'cqualion de cette courlje est
Celle de k droite Alï est, par exemple, (■i) y. -.1 = 0.
Nous allons exprimer que la différence (CA — CB) des abscisses des points de renconti-e des tangentes menées d'un point M {a, S) à l'ellipse, avec la droite (2), a ime valenr donnée d.
Or, l'équation du faisceau des tangentes issues de M (a, ,':;)
L'équation aux abscisses CB, CA. esL donc
mais, d'après l'énoncé, on doit avoir
Ci- -00 = 5,
S étant la longueur donnée, on peut écrire
S^ = (CA + CB)^ — k C,\.CB.
On obtiendra donc l'éc|uatioii du lieu du point M en exprimant que la somme et le produit des racines de î'équalion (4) satisfont à celte relation; il vient
Ce lieu est du quatrième degré, en général; mais si a ^ ft, c'est-à-dire si la droite fixe devient tangente à l'ellipse, au sommet situé sur l'ase des j, on obtient en remplaçant (a, p) par(;c,ji')
(6) b-'x~-{y-bf + ar{f-b-^){^y--^h-f -^ t'- {f- - b'-) -^ o, qui se décompose en
(8) b'-w^--ha'{/'-b-)-h'(y-^br-:-^o.
La première partie du lieu est la droite AE; il existe, en cfTet, sur cette droite une infinité de points satisfaisant aux conditions imposées.
L'équation (8) esL celle d'nnc coniqu
parabole s
ellipse «
hyperbole =
6. Lieu du sommet d'un angle de grandeur constante roulant sur une parabole.
Rapportons la parabole à son axe et à !a tang-ente au sommet; son équation est alors (i) y"- — 2px — o.
L'équation quadratique du faisceau des tangentes issues d'un point (a, 3) à cette courbe est {i) {y''—2px){f- — ip%) — {—pa.^Py—pa:Y=zo.
Les parallèles à ces droites menées par l'origine OiU pour équation
(3) y^ {f — -ip-A -ipy-p^? = o;
c'est-à-dire
(4) pa:- ^2pa:j + 2</.y^ — o.
L'angle de ces droites est donné par
Si donc on appelle ç l'angle constant des tangentes à la parabole, on a comme équation du lieu
(5) (2a+/')Maiis=ç-4(P'~2/'a)-=o;
4(a= tang^tp — p^) •+- kP"- (tang'cp -^ 2) + />5 tang> — o.
Cette conique est une hyperbole ; l'angle des asymptotes est l'angle 2ç.
n. — ÉquATIOS T.VNGIÎNTIRIXE,
Définition. — Soit
l'équalion cartésienne d'une courbe donnée; on appelle liqttalîon tangentielle de celle courbe la relation
qui exprime que la droite
est tangente à celte coui'be.
