Formation de l'équation tangentielle
On obtient l'équalion langcotielle d'une courbe donnée; de la manière suivante :
On forme l'équation du faisceau des droites qui joignent l'origine aux points de rencontre de la courbe et de la sécante
ax -\- f/'f- w-~ o,
(voir Chap. II, p. i8) et Ton csprimc cpie ce faisceau a un rayon double.
La condition trouvée
est l'équation tangentielle.
Application aux courbes du second degré. — Soit (i) Aa;= + 2Ba;7-+-Cy^-i-3D« + 2EjK + F = (j
l'équation générale des courbes du second degré, (2) „a^ |- ry + I ■= o
R. — Ex. de Géom. anal. 9
l3o I'« PARTIE. — GEOMETRIE A DEUX DIMENSIONS.
celle d'imc droite que nous allons assujettir à rester tangente à cette courbe.
L'équation du faisceau des droites joignant l'origine aux points de rencontre des lieux géométriques (i) et (2) est
Aa:^+2Ba^7-l-C7^ — 5{Dx-l-E/)(i(3;-l-yj)-i-F(Ha3+cj)- = o,
c'est-à-dire
(3) (A— 2DH + F'i5)^^^3{B — Ew — Dp-^F«(.)3;7
Ce faisceau se composera d'un rayon double, si l'on a
(A — 2Dm + F((=)(C — aEi'H-Fi'^)
-- (B~Em — Df + F«(')^^o,
F^M-f^ — aDEMi-^ — sEEM^t; + AFc^
+ 4DE«c -I- GF«' — aAEc — aCDw + AC — [ E^ u= c= — 2 DE uv^ — 2 EF M V + D= f^
+ s(DE-hBE)«c-l-E=«=-2BDt'-2BE((-hB2]=:o,
c'est-à-dire
(CE- E^) «= + 2 (DE - BF) av -H (ÂF - D^) v^
-1- 2 (BE - - CD) u -h 2 ( BD — AE) c + .\.C — B^ -■- o,
que nous écrirons
(4) au^ -\- "îbuv -^-cv^ -\-idu-\-iev -\-f^^o.
L'équation tangentielle des coniques est donc de même forme que celle de la courbe en coordonnées cartésiennes.
Bbuarque- — On. peut former rapidemeot ies coefficients dn l'équation tangentielle de la manière Considérons le discriminant
on a, i' désignant une dérivée,
26 = i; = a{DE — BF), ae -= i', = 2(BD — AE), c = 4Ô = AF — D', / = a; = AG — B'.
Réciproquement-, quand les coefficients u, v de l'équation d'une droite
(0 «^ + cj + I = o
sont liés par une équation du second degré
cette di'oite roule sur une conique.
la relation entre u, v; prenons un point du plan {x,y): pour déterminer les droites du système qui passent par ce point, il suifit de résoudre, par rapport à « el f, les équations
ua;-\-vy-^-i^ o,
Mais il est plus simple de remarquer qu'une combinaison, homogène par rapport à « et c, des équations (1) et (2) fournira immédiatement les valeurs des coefficients angulaires des droites cherchées.
Cette équation homogène s'écrit au' + a6i,p + cp' - , {du + ev) {uiv + vj) -^ /(ui! + ry)' ^o,
(3) (a-,.âx +fœ')u' + 2 (4 - e^ - dy+fxy) „
Or, une courbe quelconque peut être eonsidcrée
i32 F" pAUTiE. ■— geombtuie a ui
le lieu des points du plan par lesquels on peut mener à cette
courbe deux tangentes confondues.
Si donc le point {x,y) est tel que les droites du système qui en partent soient confondues, ce point appartient à la courbe à laquelle la droite
ux -I- cy + I = o s coefficients angulai
reste tangente.
Mais Véqualion a double, si l'on a
i!qi(ation analogue à celle que nous avons trouvée plus Laiit ([). i3o); des calculs identiques à ceux effectués donnent
-+-2{be — cd) .ï + 2 (M — ae)y ^ ac — b^ — o. Cette équation est celle d'une conique.
Signification des coefficients de V équation taiigentielle. — Quand une équation tangentielle a été formée comme nous l'avons indiqtié, ses coefficients ont une signification précise qui permet de reconnaître sur l'équation tangentielle certains caractères dont nous indiquerons les principaux.
(«) Si l'on résout par rapport à Â, B, . . . , F les équations
Si on forme la fonction S, on trouve . .r- ^, {cf-e^)(af-d^)'{de-bfy B/
yGoosle
en appelant D la fonction
acf-\- 3 hdi: - ae' —fb'' — cd' ;
on conclut
résultat qu'on peut obtenir d'ailleurs on considérant les équations tangenticUe et cartésienne comme une transformation liomographique l'une de l'autre.
Dès lors, si y >• o, ia conique est une ellipse ; Si f<, o, c'est une hyperbole ; Enfin, si /= O, c'est une parabole.
( è) Les coordonnées du centre de la conique dont l'équation tangentielle est
au- + ibuv -+- cv^ -}- 9.du-h lev -^J — o sont proportionnelles aux coefficients d, e. On a, en effet,
(^:^BE— CD, e = BD — AE.
Le centre est donc à l'origine, si l'équation tangentielle est réduite à
aii"^ + 3 buv + cv- +/— o.
(c) Dans la parabole, /— - o; l'équation
««--H 2buç-\- cf^ -I- arfw-t-aec^o est alors satisfaite par les valeurs simultanées
qui rejettent à l'infini dans une direction arbitraire la tangente mobile
ux + vj'-^i — o.
On dit que la parabole est tangente à îa droite de Vinfini,
Cette propriété est caractéristique de la parabole; toutes
les tangentes à l'eUipse cl à l'byperbole restent à distance
