Podaire du foyer par rapport à une conique

Plaçons l'origine au foyer qu'on projette; l'équation tangentielle de la conique est, d'après une remarque faite précédemment (p. i36),

it^ + C--1- 2(/« 4- aetJ 4-/=o; unp tangente quelconque ayant pour équation

la projetante de l'origine est

l38 1" PARTIE. — GEOMETRIE A DEUX D

L'équation de la podaire est dès lors

(a;= +7=)l/(^- +-/') — arf^ — aej -\- .] — o. Elle se décompose ainsi

/{^^ + y^) — ■ 'îdx — ^ 2 6/ -t- 1 -— o.

La première partie se compose des droites isotropes. Nous savons, en effet, que du fojer parlent à la conique deux tangentes isotropes ; chacune de ces droites est perpendiciilaire sur elle-même, au point de vue analytique; elle est donc ;i elle-même sa projetante issue du foyer; dès lors, elle fait partie du lieu.

La seconde partie est le cercle

/{x- -+- y-) — 2dw — 2ej + 1 = 0,

concentrique à la conique donnée et qui devient la droite

dj: -\- ey 11= o,

quand la conique est une parabole.

Remarque. — Si l'on place l'origine à l'autre foyer en conservant la même direction d'axes, on obtient une nouvelle équation se déduisant de celle qui précède en changeant les signes derf, et dee; yconservantle sien. Le rayon du cercle podaire du second foyer est donc le même que celui du premier. Ces deux cercles, étant d'ailleurs concentriques à la conique, sont identiques.

7. On donne un point A , à C intérieur d'un cercle fixe : trouver le lieu des milieux des cordes vues de ce point sous un angle droit.

Plaçons l'origine en A et prenons comme axe des x le dia mètre du point A,

L'équation du cercle esl (1) (a^^ay^y^-R^-.

a étant l'abscisse du centre.

Cherchons d'abord la relai coefticients de l'écjualion d'un

tion qui doit e corde

pour qu'elle soit vue du point A sous un angle droit.

Pour cela, nous formons l'équalion du faisceau des droites joignant l'origine aux points de rencontre de la droite (2) et du cercle ( 1 ) :

x' + y' + iaa:{ux + ry) + {a'-

R')tw]icy »=-H-)]7- = o.

Ces droites seront rectangiiSaires

si l'on i

On voit que la sécante (2) doit se déplacer en restan! tangente à une conique de nature vaiiable, mais dont un foyer reste à l'origine.

Nous devons donc chercher le lieu du milieu des portions de tangentes à une conique, limitées au cercle donné; or le milieu de la portion de corde interceptée par la circonférence esl déterminé par l'intersection de cette corde avec la perpendiculaire abaissée sur elle du centre du cercle.

L'équation de cette perpendiculaire est

On obtiendra donc l'équation du lieu cherche en éliini-

1 i(l f'" PABTIE. — GKOMÉTRIG \ DEUX DIMENSIONS.

nant m et c entre les équations

UX+ÇJ'+ 1=0,

i>(x — a)~uy = o, Ou tire u, f, iv des deux premières, rendues liomogènes,

etTonsubsliUie dans la dernière, également rendue homogène,

on obtient ainsi

2!-^[(a,-or+/=]-o(ir-a)[a;(a!-o)-h7=] qu'on peut écrii'e

~[x(x — a) -^ y'-][x{a; — a) ^ y- — ai-'T — a)]-- o; c'est-à-dire

ou enfin

■^ -h y^~ax ^— = o .

Le lieu se compose donc de deux parties :

i" Les droites isotropes partant de C ; 9." Le cercle représenté par la seconde équation.

Son centre a pour abscisse -. et le carré de, son rayon t

Or nous savons que le lieu de la projection du foyer d'une conique sur tes tangentes à cette courbe se compose d'un cercle et des droites isotropes issues du foyer : nous devons conclure que le point C est le second foyer de la conique sur laquelle roule k sécante vue de A sous un angle droit.

On peut, d'ailleurs, vérifier facilement ce résultat en substituant, dans l'équation aux coefficients angulaires des tangentes, issues d'un point (a;, y), à la conique dont l'équation t ange ntie lie est

les coordonnées (a, o) du point C.

L'équation aux coefficients angulaires

(«-- - R= ) ( u- -^ç^)~-ian(Lix + ^>x) + 2{ ux -h vy )'- = o

devient

Le point C est donc le second foyer.

Remarque. — Il résulte de ce que noas avons dit précédemment que le lieu obtenu est également le lieu de k projection da point A sur les sécantes mobiles suivant la loi indiquée.

8. On donne dans un plan un cercle fixe et une droite fixe; par chaque point de la droite on mène la corde du cercle ayant son milieu en ce point : trouver la loi de déplacement de la droite ainsi menée.

Prenons {fig- Sa) pour axe des y la droite fixe, et poui

ase des X la perpendiculaire à cette droite menée par le centre du cercle.

Soient M un point r^uelconque de Oj, |î son ordonnée; la droite de l'énoncé est la perpendiculaire à la droite MC menée par le point M. Soit d l'abscisse du centre du cercle.

viy

Le coefficient angulaire de MG est —~; l'équation de MJN est donc

(j-p)p-rfar^o,

dx — px -h f- = o, ca^ f,y I — o.

Nous obtiendrons la relation qui existe entre u et f en éliminant - entre les équations (2) et (3) ; U ^licnt

yGoosle

D'après ce que nous avons dit plus haut [p. i33 — (c)], cette équation montre que la droite MN enveloppe une parabole, résultat qu'on atteint immédiatement par la géométrie élémentaire.

Le lieu de la projection du foyer d'une parabole sur les tangentes à la courbe est la tangente au sommet. Si donc on joint un point fixe C aux différents points d'une droite fixe O^, qu'aux points M on mène une perpendiculaire à CM, on refait en sens inverse la construction que nous venons de rappeler; MN est tangente à une parabole dont le foyer est en C et la tangente au sommet Oy.

9. On donne une conique et une droite Jixes ; par chaque point de la droite on mène des tangentes à la conique fixe; on fait passer un cercle par les points de contact et le centre de la conique : quelle est la toi de déplacement de la seconde corde commune au cercle et à la conique?

Pi-enons comme axes de coordonnées ceux de la conique fixe; son équation est alors

(i) Aa^= + C/= — i=.o.

(2) «^+foj-,=o

l'équation de la droite fixe,

La polaire d'un point (a, p) de cette droite a pour équation

(3) KAiT + pCj — i = Si l'on écrit

l'équation d'une droite quelconque du plan, l'équation

(5) Aai" + C.r' — i + (iA»+pC7-i)().aJ + uj + v) = o

est l'équalion générale des coniques passant aux quatre points communs à la conique (i) et aux droites (3) et (4)- Nous obtiendrons la loi de déplacement de la droite

déterminée conformément à l'énoncé, en exprimant que la conique (5) est uq cercle passant à l'origine, et en éliminant les paramètres a, p entre les équations de condition et l'équation

(6) a..+ bf.~i^o,

relation à établir entremet ^pour que le point correspondant appartienne à la droite (a).

On doit avoir

(8) ;V(l+^X}-C{74-fi;A)^0,

(9) aAa--pCi.^o.

Il vient, de (6) et (9\

ouj en portant dans (8),

(10) AC(),^ + a^) + (A-C)(«CÀ-ôA^,) = o.

Telle est !a relation à établir entre À et ;j. pour que la droite

soit la seconde corde de l'énoncé.

Cette droite enveloppe donc une parabole dont le fojcr est à l'origine [p. l'i'd; (c) — p. i36. — Rem.)