NORMALES
(a) L'équaiion de la normale i
{^, r) est
ib) Les pieds des normales menées du poinl (ï, S) à la courbn f{cr, y) = sont à la rencontre de cette courbe avec la courbe auxi-
(e) Cette courbe est le lieu des pieds dea normales menée! point (o, p) à toutes les courbes obtenues en faisant laiier arbii lement le terme indépendant des coordonnées dans 1 équation
(d) Dans le c:
,s où la courbe /(^,j)
mxiliairc
(.-a,)/;-(îi-:K)/i = o
est une hyperbole équilatère qui a ses asymptotes parallèles ans axes de la conique donnée, qui passe au centre de la conique et au point (a, P); ces deux points se trouvent sur une même branche de l'hyperbole si la conique est une ellipse, sur deux branches distinctes si la conique est une hyperbole.
(e) Le lieu des pieds des normales menées du point (a, p) à un faisceau de coniques
- /i*3?. de Geom. .
uiC l'= PARTIR. — GKOMKTRIB A 1)1
s'obtient en éliminant le paramétre variable entre les équations
(«-"')/;-(fi-r)/i-o-
Ellipse. — (a) L'équation de la normale dont le pied a poiii- coordonnées
costp sinç ~ '
en posant
( 6 ) La droite ua; -I- ly -1- i = o est normale à l'ellipse dont l'équa-
a^ -i' èi - "'
si l'on établit entre u et v la relation
(c) L'équation aux coefficients angulaires des normales à l'ellipse, issues du point (^, P), est
c*m2— («*-(- 65m=)(/Ha — P)^ = o.
(rf) On peul écrire l'équation d'une normale en foneliun du coefficient angulaire
Hyperbole. — {a) L'équation d'une normale à l'hyperbole
X ^ y ^ ^°' en posant
cs = «s + fiï.
X, Y sont les coordonnées courantes; x,y celles du pied de la n
(6) La droile ux -^ vy -\- \ ^=^ a est normale à Tiiyperbole, si 1
établit entve it et v la relaiLtm
(c) L'équation aux coefficients angulaires des norn point (a, P), à l'hyperbole est
c*7m2 -(«î - b'm^)(ma—py = o.
{d) L'équation d'une normale peut s'écrire
Parabole. — (a) L'équation de la parabole étant celle de la noimale au point («, y) est
(6} En fonction du coefficient angulaire, on l'écrit
(c) L'équation aux coefficients angul point (a, P), à la parabole est
L — Lieux des r
1, Lieu des pieds des normales menées d'un point fixe aux coniques dont l'équation est
Les points donl on cherche le lieu sont à l'intersection des coniques du système el de l'hyperbole des pieds des normales relative au point fixe.
Soient a, p ses coordonnées.
On obtiendra l'équation du lieu étudié en éliminant le
lis I™ PARTIE. — GEOMBTBIE A DEUX DIMENSIONS.
paramclre \^ enire les équations
On a
ce qui donne
La première partie du lieu provient des coniques singulières x^^o,y^^o du système (i), fournies par X^ = o et X^ — C^ = o.
La seconde partie du lieu a un point double au point (a, j3), les tangentes y sont rectangulaires ; on pouvait prévoir l'existence de ce point à l'esanien de l'équation ( i ) : eelle-ci renferme le paramètre ')? au second degré et (?.) représente un lieu passant au point (a, p) quel que soit î,, etc.
2. Lieu des pieds des normales menées d'un point P à une série d'ellipses ayant an sommet commun B, la même tangente en ce point, et telles que, pour chacune d'elles, le rapport de la longueur de Vaxe parallèle à la tangente commune à celle de l'autre axe ait une valeur donnée K ; construire le lieu dans les cas particuliers suivants :
i" Prendre P sur la bissectrice de l'un des angles formés par la normale et la tangente communes à toutes les ellipses en B.
2° Donner à K les valeurs y/3 et a.
l^École Normale, 1875.)
Prenons comme axes de coordonnées la tangente et la normale au sommet fixe; l'équation générale des coniques définies par ces éléments est
(i) ^5—. ipx — qx- ^o.
L'abscisse du centre est x\
L'ordonnée correspondante est
On doit donc avoir
L'équation des ellipses de l'énoncé est dès lors (a) y^-i-K^jc^ — a/)a^ = o,
p étant le paramètre l'arialile.
Soit P (a, g) le point par lequel on mène les normales : les pieds de ces droites sont à l'intersection des ellipses (a) et des hyperboles équilatères
On obtiendra l'équation du Heu cherché en éliminant jO entre les équations (3) et (3).
On peut écrire
(2) /^ + Yt?cc^ — ixp -^zL o,
(3) lK'a.(j.-[>)-j(a;-a)]-(7-p)i, = o.
On a donc
c'est-à-dire
lieu du troisième degré ayant pour directions asjmpto-
i DËIJS DIMENSIONS.
tkjllCS
(ît un point double à l'origine ; les tangentes sont
^(j- — K*^') -h 2«a^/ = o, c'est-à-dire (6) K^§3.= -2aa77-pj^ = o.
Le point double est toujours réel, etc.
(a) Dans le premier cas particulier indiqui5
l'équation du lieu devient
c'est-à-dire
Le lieu se décompose donc en une droite y — x = o et une hyperbole
(i) Dans le second cas indiqué
l'équation du lieu devient
Suivant la règle que nous nous sommes imposée, nous laissons à nos lecteurs le soin de construire cette courbe par l'application des méthodes qui leur sont fanrtiljères.
