Déplacement d'une droite gui reste normale à une conique

Étant donnés deux axes rectangulaires Ox, Oy^ on mène d'' un point fixe F pris sur Ox une droite quelconque FM; par sa rencontre M avec Oy on mène une perpendiculaire MT à FM, et par F une droite FS faisant avec Ox un angle double de celui que fait FM avec cette droite : soit P le point de rencontre des droites MT, FS, On demande la loi de déplacement de la perpendiculaire à MT menée par le point P.

Cherclions d'abord les coordonnées du pointP; pour cela, formons les équations des droiles MT, FS.

Soit

OF — d.

L'équation de FM est (.) y-l{x-d)^o-,

les cooi-donnccs de M sont alors

L'équation de MT est donc

(2) (].+ld)->.+X-^-0.

Celle do FS esl

(3) /--j-^,(ît-rf)^o.

Les coordonnées de P sont données par

L'équalion de la droite PZ est donc

(5) iy + ^-^d) -l(^-l^d)^o,

(6) y — \x + 2dh. -h -lA = o.

On reconnaît, sous cette forme, l'équation de la normale

à une parabole dont l'éqaalion est

C'est la parabole lieu du point P. Son sommet est en O, son foyer en F.

(Foîr Chap.V, §11, n"8.)

2. On donne une parabole et un point situé sur l'axe ; par ce point on mène une droite mobile qui rencontre la parabole en deux points; on mène les normales en ces points et l'on demande le lieu de leur point de rencontre quand la droite mobile tourne autour du point fixe.

Rapportons la parabole à son axe et à la tangente au sommet; son équation est alors (,) y- — ipx-r.o.

Soit (a, ^) un point du plan ; les pieds des normales menées de ce poin.1 à la parabole sont sur l'hyperbole

(a) a'7-(^-p)7-pP^o-

Ce point (a, ^) appartiendra au lien étudié si parmi les cordes communes aux lieux (i) et (3) se trouve la droite mobile autour du point fixe donné.

Or l'équation générale des coniques passant à l'intersection des coniques (i) et (2) est

(3) y'' — ipx + \{xy—{i.—p)y — p{i'] — o.

Une droite quelconque passant au point donné A {x=-a, r =: o) a pour équation

Le polynôme premier membre de cette équation doit être en facteur dans l'éqiiation (3); autrement dit, le reste de la division du polynôme

X^ — ipx+l{xy — {r~p)y~p'f\

yGoosle

pav

y — l'-ix — a)

doit être idenliquemcnt nul pour que le point (a, p) appartienne au lieu.

Le dividende ordonné est

Le reste de la division est — 2px — \pp^[j.{x — a)['k{^ — -j.-\'p)^[J.{'X: — a)]. On doit donc avoir

(6) ■ ^p ^ ;..[(/; -tt)X-(.«]-t.a(X + a) ^o,

(7) \p^-i-i>.a[Up — <:i) — i>.a] = o.

Écartons l'hypothèse ij,— o de { 5) ; il reste

L'équation (6) devient aJofs

et {']) devient, de même,

L'équation du lieu s'obtient donc finalement en éliminant [A entre les équations (8) et (9).

On a ainsi

équation d'une parabole ayant pour paramètre — et même ase que la première; son sommet a pour abscisse p -+- a.

En écartant l'hypothèse [J. ^o, on n'a supprimé aucune

solution; le premier membre de l'écjvialion (6) se rédiiirail alors à ( — ■?.p).

[j.= o n'esl donc pas une solution du système.

3. Par un point A extérieur à une parabole, on mène deux tangentes à la courbe et aux points de contact, lei normales se coupant en D. Quel doit être le lieu des points A pour que celui des points D soit i" Une droite;

2" Un cercle ayant pour centre le sommet de la parabote;

3" Une hyperbole équilatère ayant pour axe transverse l'axe de la parabole et pour axe non transverse la tangente au sommet ?

Rapportons la parabole à son ase et à la tangente uu sommet

(a) Pour résoudre le problème, nous allons d'abord ehetcher à exprimer les coordonnées Ç, v] du point D en fonction des coordonnées a, p du point A,

Pour cela prenons un point quelconque (^, t)) du plan et menons les normales à la parabole; leurs pieds sont sur l'hyperbole

(o.) xy^-{p-^l)y~prr-=o-

Le point (^, -f]) sera un des points définis par l'énoncé, si parmi les coniques passant aux rencontres de (1) et (2) se trouve une conique singulière formée de la polaire du point A (a, p)ct d'une autre droite.

Or l'équation générale des coniques passant à l'intersection des coniques (i) et (2) est (3) y~ — 9.px -+- \{œy + (^ — 'c)y — p-t, ] = ;