CHAP. VI. — NOTIJIALEE, IS
celle de la polaire du point A est
On obtiendra donc les relations qtii doivent exister entre a, ^, ^, 7), À, pour que les points  et D se correspondent conformément à l'énoncé, en exprimant que le reste de la division du polynôme (3) par le polynôme (4) est identiquement nul.
Ces calculs simples effectues, on a
(ft) Soit maintenant
(7) A^l-B^-hG = o
l'équation de la droite que doit parcourir le point D ; on obtiendra l'équation du lieu correspondant du point  en éliminant ^ et 75 entre les équations (5), (6) et (7); on a ainsi
(8) 2p(Ap - BO -H Apip - «) + C;* ^ o,
hyperbole dont les directions asymptoliques sont celle de l'axe de la parabole et celle de la perpendicidaire à la droite lieu du point D ; etc.
(c) On applique sans difliculté la marche que nous venons d'employer aux deux autres questions de l'énoncé.
4. Formules de M. Desboves. — Dans un opiiscule ayant pour titre Théorèmes et problèmes sur les normales aux coniques, M, Desboves a employé, pour la résolution d'un grand nombre de questions, des formides analogues à celles que nous venons d'obtenir pour la parabole.
l56 p" PABTIE. — GÉOMÉTRIE A DEliS DIMENSIONS.
Ces formules permettent d'exprimer les coordonnées Ç, n du point N de rencontre de deux normales à tine conique à centre, en fonction des coordonnées a, ^ du point T de rencontre des tangentes à cette conique, menées par les pieds des normales.
Nous renvoyons nos lecteurs à cet opuscule pour de plus amples détails; nous nous bornerons à donner les formules de M. Desboves, formules qu'on peut obtenir en employant diverses méthodes.
Ellipse. — — ^ + T^i — 1 ^ o étant l'cqualion de l'ellipse ; ^, y, les coordonnées dn point N; a, [3 celles du point T, on a, en posant c^ ^«^ — 6'^,
Hyperbole. — -~.. — '\-^,— i= o étant l'écjuation de l'hypei bole, on a, en posant c^ ^ «^ + i^.
Parabole. — Nous avons obtonu plus haut les formules
5. Lieu des points de rencontre des normales à l'ellipse menées aux extrémités de deux diamètres conjugués.
Rapportons l'ellipse à son centre et à ses axes; les coordonnées des extrémités A, B de deux diamètres conjugués sont
|^^«cos<p, («^-asinç,
l/^ôsm-p; ' ly= 6cos-f,
La normale au point A a pour éqnation
celle du point B
On est conduit à éliminer l'angle ç entre ces deux équations et la relation
L'équation du lieu étudié est donc
-cHa'x'-b'y')' = o c'est-à-dire
ce
Des deux pn
=„ière
s on tire ta valeur de
ÎS
sin^
on conclut
cos<
aK'c'- + b^r-
' c'(oa:-»7J'
lieu du sixième degré symétrique par rapport aux deux axes de coordonnées. Cette courbe est fermée; elle présente un point quadruple à l'origine, dont les tangentes de rebroussement sont les droites
6. Lieux des points d'où partenl à une ellipse une tangente et une normale rectangulaires.
Prenons comme axes de coordonnées ceux de l'ellipse. Soient M (a, ^) un point du lieu, X le coefficient angulaire d'une normale issue de ce point ; ), est racine de l'équation aux coefficients angulaires des normales issues de M à l'ellipse; on a donc
S'il part du même point une tangente perpendiculaire à cette normale, — r- doit être racine de l'équation aux. coefficients angulaires des tangentes à l'ellipse issues de M; on a donc
L'équation du lieu du point M s'obtiendra en éliminant X entre les deux équations précédentes.
Cette élimination se partage en deux ;
i o> + 6'X'-(« + pX)' = o-,
1 <.' + 4-X'-(.+ (tt)- = o.
On
peut
écrii
■e, Cl.
ordomianl,
