CHAPITRE VII
Rappel dis bbsult.vts.
(a) Soit
l'équaiion générale des courbes du second ordre; le centre do c courbe a pour coordonnées la solution du système
(b) Si l'équation donnée renferme un paramètre -variabii^, l'équation du lieu des centres de toutes les coniques du système s'obtieni en éliminant ce paramètre entre les équations
(t) On pourra distinguer, sur le Heu obtenu, les points pro de centres d'ellipses ou d'hyperboles, de la manière suivante Les équations
Aa--H!î/+-D = 0, B^+Cy + F=o permettent d'exprimer a; et y, coordonnées des centres des co en fonction du paramèii'e variable :
BE — eu ~ BD — AE^ AG — \5' ' Toutes les valeurs de ce paramètre qui donnent S = AC — B2 < o fournissent des centres d'hypcrbnics; R. ~ Ej:. de Géom. anal.
j62 i" lAUTiE — (jEOMLriur v m
6 > o donne des centies J ellipse
S = o donne des centies de paiabole
Il y a heu de lemaïqupi que luisque (.es derniers sont à distance finie, il y en a une infiniti* pnur la même parabole et que, dès lors, celle-ci «e compose de deu\ dioites paiiUèles, distinctes ou confon-
1. ^ Lieu des centres des coniqties passant par quatre points fixes.
Soient
les équations de deux coniques passant respectivement pai' les quatre points donnés ; l'équation générale des coniques de l'énoncé est ,,) U + lV = o.
Le centre d'une de ces coniques est à Tin ter section des droites
(2) u'^ + iv;, = o,
(3) IJ'y-^lYy-^o.
L'équation du lieu de ces points est donc
Le lieu représenté par celte équation est une conique paiisant aux centres des deux coniques données.
du lieu obtenu.
Soient les quatre points A, A', B, B' {fig- 33). Prenons comnae axes de coordonnées les droites AA', BB'; l'équation génirale des coniques passant par ces points est, d'après ce
Le centre de cetLe conique est défini par i'iiUei'section des droites
aa' \ ah' ba )■' \a a )
L'équation du lieu cherché, oLtenue en éliminant \ entre ces équations est
aa' bb' laa' ibb' '^ ~^
Cette conique passe aux points C, D, O, contres des coniques singulières formées de droites et passant aux quatre points donnés.
Si l'on fait ^ ^ o, on trouve
Donc le licii passe au milieu du segment AA,'; il passe égalemenl par les cinq autres points cjui sont les milieux des droites passant par les quatre points donnés.
La nature du lieu des centres dépend du sig^ne du produit aa'bb'.
Si aa'bb' '^o, c'est une hyperbole.
Celte hyperbole est équilalère, si aa' — bb' ^ o; alors le quadrilatère ABA'B' est inscrlptlble.
Si aa'bb' <C a, c'est une ellipse.
On ne peut avoir une parabole comme lieu des centres, si la figure AA'BB' est un véritable quadrilatère.
3. — Distinction des centres d'ellipses et des centres d'hyperboles.
Dans le cas où la conique, lieu des centres, est une ellipse, l'équation générale ne représente que des hyperboles, puisque la condition
aa'bb' ~ y^'^'hâ'^'') ~ "4 '^ ° esl toujours remplie.
Quand le Heu des centres est une hyperbole, on distingue les points provenant des centres d'ellipses de ceux qui proviennent de centres d'hyperboles de la manière suivante :
Les coordonnées d'im centre quelconque sontfourniespar
Or:
(a) X variant de
S <;o; ]a conique du faisceau est une hyperbole.
(b) \ variant de
"X^^bâ') " ^^^p '* '^[aF^ba'J
ê >■ o ; la conique du faisceau esl une ellipse.
(c) >, variarU de
ab'
5 < o; la conique du faisceau est une hyperbole.
(a) L'abscisse et l'ordonnée du centre parlent de o et deviennent infinies; ce point décrit une partie de la branche d'hyperlïole qui passe à l'origine.
(b) Les coordonnées du centre ont des valeurs infinies au commencement et à la fin de cette série de valeurs de X; elles restent finies dans l'intervalle et ne s'annulent pas simultanément; le centre se déplace sur l'autre branche d'hyperbole.
(c) Enfin les coordonnées du centre, infinies au début, deviennent simultanément nulles à la fin; le centre se meut sur la seconde partie de la branche d'hyperbole qui passe à l'origine.
Enr
Les centres d'ellipses se trouvent sur la brandie il'iivperbole-lieu qui ne passe pas à l'origine.
l66 l'o FARTIE. — GÉOMÉrJllE A DI
Les centres d'hyperboles se troiivcnL sur la Lranchc qui passe à ['origine.
Les points à l'infini du lieu sont les centres des paraboles du système de coniques considéré ; ces paralioles ont leurs axes parallèles aux asymptotes de l'hyperbole-lien.
4, — Lieu des centres des coniques représentées par l'équation
( I ) x^ -i- ■,?, X o^/ + ly"^ — 2 ?, a^ — 37 + ), = o,
>. étant une variable .
On distinguera sur le lieu les points provenant des centres d'ellipses de ceux qui proviennent des centres d'hyperboles ou de paraboles.
L'équation donnée peut s'écrire
forme sous laquelle on reconnaît l'équation générale des coniques passant à l'intersection de la parabole
et de l'hyperbole
[a) Le centre d'une conique quelconque du système est défini par les deux équations
On obtiendra le lieu des centres en éliminant >. entre ces équations :
L'éliminant est
Le lieu des centres est donc une byperbole dont les directions asymplotiques sont
l'ig. 3'+.
Nous construirons cette courbe en ciiercliant son centre (fis- 3<) :
2/,= a,+ ,=o; c'esl-à-dire
Si nous cherchons les points de la courbe qui sont sur les axes, on trouve, en faisant j' = o,
i(i8 i'" PARTiiï. — GiooMiiTiun: a di
Ces points sonl donc les points A, B, rencontre des asymp- LoLes avec Oœ ; l'hyperbole se réduit à ses asymptotes ; on voit d'ailieiirs facilement qne l'ét|uation de cette conique peut s'écrire
{x + i){x^hy — i) — o.
(6) Les coordonnées du centre de l'une des coniques du l'aisceau sont définies par les équations (2); on peut exprimer ces coordonnées en fonction du paramètre 1 :
Nous voyons cjue, tant que
ic a la valeur constante — i .
Si, au contraire,
X a une infinité de valeurs ; l'équalion qui donne x devient une identité.
De même, si
y a une iufmité de valeurs.
Nous avons donc, au point de vue algébrique, les résultais suivants :
,' X conserve la valeur — 1 ; quand >. := o, ^ a 1" X variant 1 ^•'^^ infinité de valeurs, de — 00 a o. i y varie de + i à — x en s'annidanl pour
GlJ.iM, VU. — CENTRE. ifig
X conserve la valeur — i ; qnaHcl X ^ j , ar a
une infinité de valeurs.
2" X variant J y varie de + oo à 2; quand X ^ i, y a une
de o à 1 . \ infinité de valeurs , mais les valeurs simul-
I lanées de x et dc 7 doivent être associées
{ de telle sorte que x ~{-y = 1 .
3" X variant [ ^ conserve la valeur — 1, de I k+ca . \y varie de 2 à + 1 .
Or, si nous formons
