On donne Véquation
n'y-— b'^x- -+-«'/'- ^^o' crune hyperbole, et celle cVune droite
passant au centre de l'hyperbole.
1° Former l'équation générale des coniques gui passent par les points réels ou imaginaires communs à l'hyperbole et à la droite donnée et qui déplus sont tangentes à l'hyperbole en celui de ses sommets situé sur la région positive de Ox;
s** Trouver le lieu des centres de ces coniques, ~ Discussion.
[École Centrale; juillet 1884. {Énoncé partiel.)\
Pour écrire l'équation demandée, il suffit de remarquer que la conique particulière formée par la droite
n — Ex. de Geom. anal, 15
178 1'" PAHTIK. — GEOMETRIlî A DEUX DIMEHSIOSS.
et la tangente au sommet désigné répondent à l'énoncé ; elle rencontre la première en quatre points, l'équation générale demandée est donc
(i) a-y^ — b^x--h a-b^-h ).(y ~ kx){œ — a)-= o;
on peut écrire
( 2 ) {b--hkl)x- — Xxy—a-y-' — ak'kx -^a'ky - - a'-b- = o. La caractéristique est
et l'on voit facilement que la discussion de cette lonclion comporte trois cas :
la droite y — kx ^= o ne rencontre pas la coin-be en des points réels, les racines en X sont réelles; la conique (a) est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant la valeur de /..
la droite donnée coïncide avec une des asymptotes de l'iiyperbole; sauf deux paraboles singulières,
{ay — bj;-hab)^ — 0,
{ay + ba; — ab)-^o,
ic système (a) ne
: renferme que des hyperboles.
la droite y^/cx=:o coupe la courbe en des points réels, la conique (2) est toujours une hyperbole.
L'équation du lieu des centres s'obtiendra en éliminant a
entre les équaiions
(3) a{P ^ kl)!C - \y — a/.-'k - o,
C'est une conique dont l'équation est
( 5 ) i-a7^ — a ff^ kxy ■+■ a'^y- — ab'^œ -^-a'ky r= o.
Nous n'ayons à distinguer les centres des diverses espèces de coriqucs que dans le cas («) de la discussion précédente.
(a) a'-!fi-b-->o;
le lieu des centres est une hyperbole, qui, sans nous arrêicr aux autres points, passe au point
-ka.
rencoiHre de la tangente au sommet de l'iiypcrbole donnée et de la droiie y — kx = o.
Les équations (3) et (4)i résolues par rapport au;; coordonnées du centre mobile, donnent
Appelons >,', '/," les racines du dénominateur.
(b) \ variant de — ooà V; la conique {2) est une hyperbole.
X varie de a à l'infini y varie de ka à l'infini.
(c) \ variant de)/ à),", la conique est une ellipse déformée en parabole an commencement et à la fin de l'intervalle.
X &iy varient de zt oo à ip œ .
l8o 1''= PARTIE. — GEOMETRIE .V DEUS DIMENSIONS.
(d) avariant de X" à -i-so ia conicjue (2) est une hyperbole.
X varie de ± co à «
y varie de ± 00 à ka.
Les centres des hyperboles du système (a) sont donc sur la tranche de l'hyperbole (5), qui passe au point x-^=^a^ yz=ka préccdemmcnt défuii .
