DIAMÈTRES CONJUGUÉS
(a) On appelle diamèlre dans une courbe du second ordre le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée.
Ce lieu est uae droite; el, F(ic, j) = o étant l'équation de la conique, le diamètre des cordes de direction m a pour équation
(ô) Ce diamètre est la polaire du point rejeté à riurini, dans la direction ayant pour coefficient angulaire m.
(c) On appelle diamètres conjugués, dans tes coniques, deux diamètres tels que chacun d'eus est le lieu géométrique des milieu des cordes parallèles à l'aune.
(d) L'équation générale des courbes du second ordre étant
Aa!2 ^2Bay-t-CjS-i- . . , = o,
la relation entre les coefficients angulaires de dcus diamètres conjugués est
Cmm' + B(m-Hnî')-HA = o.
(e) Le lieu géométrique du milieu de la partie d'une sécante mobile, limitée à une conique, s'obtiendra en éliminant le paramètre variable entre l'équation de la sécante et celle de son diamètre conjugué par rapport à la conique.
Définition. — Les droites joignant nn point d'une conique aux extrémités d'un même diamètre, portent le nom de cordes supplémentaires et sont parallèles à un système de diamètres conjugués.
■1. Par un point (Tune conique on mène des parallèles à un système de diamètres conjugués d'une autre conique : démontrer que la corde déterminée par ces droites passe par un point fixe.
Prenons comme :
; de coordonnées la normale
lang-eiile à k conique au point douué; l'cqualiou de ccUc courbe est alors
([) ax^-^ 2 6a;/ + c/^+ a dx^Q.
SoienI
l'éciuation de la seconde conique et
I équalion d'une sécanle quelconque.
Cette sécanïe sera iine des cordes de l'énoncé, si les droites OM, OM' joignant l'origine à ses points de rencontre avec la conique ( i ) sont parallèles à un système de diamètres conjugués de la coniqne (2).
Or les droites OM, OM' ont pour équation
ax- •+■ 2 bxy -+- cy- -\- 2 dx ( ux -\- vy) ^= o, {a ■+- 2 du) œ^ + 9. {b-h dç) xy + cy- — 0.
On doit avoir entre leurs coefficients angulaires m. m' la relation
(3) Cmm' + -Q {m ^ m'-) ^Kzzro.
Or
^dç
dès lors u et v sont liés par la relotion
(4) C ° + "'" -,B-^-±iJ!-'-l-A = o, c'est-à-dire
(5) 2C^/« — 2B(^c-i-A.c — 2Bi + C« — o,
Cette relation du premier degré montre que MM' passe par le point fixe dont les coordonnées sont —^.Q.d
■^'- Ac~2Bi-4-G«'
2b*-i-Ca
{Fo/rChap. IL§II.)
2. Unpoint P se meut sur une droite D, située dans ie plan d'une conique C; par chaque point P on mène (a
l8i I" L'AIiTli;. — GÉOMÉTRIE ,\ DEUX DIMENSIONS.
sécante à la conique C ayant son milieu en ce point : trouver la loi de déplacement de cette droite.
Plaçons l'origine à l'un des sommets de la conique fixe et prenons comme ases de cooïdonnées la normale et la tangente en ce point.
L'érjiiation de la conique est
(i) f'~-y.pcc — qx'-^o.
Soit
{■>.) A,« + Bj-hC = o
l'équation de la droite fisc D.
Soit M (a, ^) un point quelconque de la droite D ; la droite de l'énoncé qui passe par ce point est la parallèle au diamètre conjugué de !a droite joignant le point M au centre de la conique G.
Ce centre U a pour coordonnées
Le coefiîeient angulaire de MQ est donc
Les coefficients angulaires des diamètres conjugui conique ( i ) sont liés par la relation
On a donc (5, ™. = îi±i?.
1^'équatlon de la droite de l'énoncé est
c'est-ù-dire
(q-i.-^lj)^r — f,y^f—-j.{q%^p) — o.
ou enfin (7) ^-'■-\-p .^ fl______, ^ . ^
Posons
On nblieridra la relaùon à éLablir entre u et ç en élîminanl a, g entre les équations (2), (8) 01(9) qui deviennent
(2) Aa+Bfi +C = o,
(10) uf^(ju->?-{pa + q)^.-p~o,
L'élimination donne finalement
La droite mobile est donc soumise à une double loi de déplacement :
1" c =; o, translation parallèle à Oy ; 2" cnvcloiipe d'une conique.
li, - r;x. de Géom. iinaL, I. i5*
l PEDX DIMENSIONS.
1. Une di'oiie roule sur une circonférence, on demande le lieu du milieu M de la partie intercepte sur cette droite par une conique du plan.
Je prends comme ases de coordonnées deux droites rcctangnlaires passant au centre du cercle; soit alors
l'équalion de la conique donnée.
Le point M dont on demande le lieu est à l'iiiterscclion de la tangente mobile
(,) j;cos? + /sin...-a = o.
(ç étant le paramètre variable) avec Se diamètre conjugué de la direction de cette droite par rapport à la conique ([). L'équation de ce diamètre s'écrit
(3) siii!p/'„ — cos^/;. = u.
On obtiendra l'équation du lieu du point M en éliminant s entre les équations (a), (3) et la relation
On obtient
cosu sin-j R
L'équation cliercliée est donc
HH/'i +/;^} ~ {^f: + yf\ y- ---^ o,
Gc lieu du quatrième degrc, qui a toujours comme dircc-
lions asjniplotiqties doubles celles de la conique (i ), devient un limaçon de Pascal dans le cas particulier où la conique ( i ) est une circonférence.
2, Application. — Lieu des milieux des portions de tangentes à un cercle comprises entre deux diamètres rectangulaires de ce cercle.
Prenons comme axes de coordonnées les diamètres donnés.
L'équation du cercle est
Les points dont on cherche le lieu géométrique sont à l'intersection d'une tangente quelconque avec le diamètre conjugué de sa direction par rapport à la conique évanouissante i'ormée par les axes de coordonnées et dont l'équation esl (,!) xy=o.
L'équation d'une tangente quelconque au cercle est (3) a^cos<p+7sin^ — R^o.
Celle de son diamètre conjugué par rapport à la conique i'i)
L'équation du lieu s'obtiendra en éliminaul le paramètre 9 entre les équations (3), (4) et l'équation
cos'«-t-sin^a — i;=o.
Il vient , cosip sina ^ R
Ce licti est du quatrième degré; il est svniétriquc par rapport aux deux axes de coordonnées, son équation ne renfermant que des termes de degré pair; il a un point isolé à l'origine où les tangentes sont les droites isotropes.
On peiiL conslruirc cette courbe en remarquant f|ue l'équ; lion (6), résolue par rapport à y, donne
X ne peut varier que de
Les droites limites parallèles à Oj sont des asymptotes
quand a: est infini, y-^~j-, ce qui donne les asymptotes
parallèles à Ow.
Les points communs au lieu et au cercle
sont sur les hyperboles
aa?/ — R^ = o, aa:/ + R^:^o,
qui sont tangentes au cercle à ses rencontres avec les bissectrices des axes.
Le lieu est tangent a» cercle en ces points, li présente donc la forme de Idijïg. 4o-
Solution géométrique. — On peut établir par des considérations géométriques les résultats qui précèdent.
(a) Le lieu est évidemment symétrique par rapport aux diamètres pris comme axes.
(fo) Les droites isotropes issues du centre du cercle sont
Fis. ^1'.
les asymptoles rlc ce cercle, c'est-à-dire des tangentes : iu milieu de la partie interceptée par les axes qui ne les rencontrent qu'à l'origine est ce point lui-même. — C'est d'ailleurs tm point isolé, car les asymptotes du cercle ne font pas partie de la série continue des tangentes.
(c) Soient P un point quelconque du cercle, PS la tangente en ce point, M le point du lieu étudié; menons Oï parallèle à PS : les quatre droites Ox, 0/, OM, OT forment un faisceaii harmonique
yGoosle
Donc, quand OT s'approche de Oy, OM s'en approche également, le point M s'éloigne indéfiniment sur la tangente
mobile; mais sa distance à Oy tend vers ~, abscisse de
l'asymptote.
Quand Oï s'approche de la seconde bissectrice, OM s'approche de la première; le point A fait partie du lieu.
Soit P un point infiniment voisin de A; prenons l'angle POA = s comme infiniment petit principal, l'angle des tangentes au cercle en P et A est t; ML est un infiniment petit du premier ordre ; de plus,
MK = MLsiii;,
donc MK est un infiniment petit du second ordre el /VB est la tangente au lien étudié au point A,
S. On donne une conique ayant pour équation
y^ ^^ ■îpx -\- qx-
et une droite fixe de son plan.
De chaque point de cette droite on mène les tangentes à la conique : on demande le lieu du milieu de la portion de la corde des contacts limitée à cette conique.
Le point dont on demande le lieu est à l'intersection de la polaire du point mobile avec le diamètre conjngué de la direction do celte polaire.
Soit (I) A^-B/ + C = o
l'équation de la droite donnée.
Un point «, ^ de cette droite satisfait à l'équallon
et a pour polaire
(3) Urj.^p)a,-<^j-^p-^-^o.
Le coefficlenL angulaire de cetLo droite est
Le diamètre conjugué de la polaire est donc.
L'équalion du lieu cherché s'obtiendra en éliminant les paramètres a, ^ entre les étjuations
(2) Aa-HBp + C=^o,
(3) {<,a: -I- /J) Ci — 7 ;i -Y^ pj; = o,
(5) çr« -('?« + /■')? -'-/■',?' — o.
On obtient ainsi
(6) kpiqx'^y'-^pw) — lî/'V H- C {'/y'- -{qx -\- pf] — o,
équation d'une conique.
En désignani par U, V, AV les coefficients de A, B, C, on voit qne l'équation (G) est de la forme
X, [j. désignant les deux, paramètres variables dont dépend la position de la droite donnée ( i ),
Cette équation se ramène l'acllemenî, à la l'orme étudiée au Chapitre IV
et peut être discutée complètement par la méthode iiidi(|uée.
gï l'" PARTLE, ~ GIÎOSIIÎTRII! A DEUX
En écrivant l'cqualion de la droite (i
T-, - deviennent les coordonnées du point mobile \( de la
discussion générale.
On peut déduire de la loi de déplacement de ce point celle de la droite (i); celle-ci s'obtient par une construction géométricpie simple.
Quant le point M se meut sur la caractéristique F de la discussion générale, la droite { i ) enveloppe une conique.
Dans le cas particulier où la conique donnée est une parabole,
g—o, l'équation (6) devient
(7) Mp^—y^) — ^P7 — Cp ^ o-
Le lieu est donc aussi une parabole, quelle c|ue soit la position de !a droite donnée.
Solution géométrique. — Les points du lieu étudié sont définis par l'intersection de deux droites tournant autour de deux points fixes :
1" La polaire du point mobile qui loiirae autoiir du pôle de la droite donnée;
2" Le diamètre conjugué de la direction de cette polaire qui tourne autour du centre (ixe de la conique donnée; ces droites se correspondent homographiquement.
En effet :
1" A une position du point mobile correspond une polaire unique de ce point; cette polaire a un diamètre conjugué unique;
1" A une droite arbitraire menée par le centre de îa conique correspond une direction unique du diamètre cou-
jugué de sa direction ; la parallèle à cette droite menée par le pôle de la droite fise a une position unique.
Le déplacement de ces droites est donc homographique :
le lieu de leur point de rencontre est une conique passant au
pôle de la droite fixe et au centre de la conique donnée, etc.
Toute la disciission exposée au Chapitre IV peut être
refaite ici.
Â: Par les points communs à l'ellipse a^y^ + b'^a:'' — a^b^ ^^ o et à l'hyperbole passant aux pieds des normales menées (Sun point P (œ, ^) à cette ellipse
c^xy -f- fc« p a^ — a^ a/ = o,
dans laquelle c^ = a' — Ô^, on fait passer une infinité de coniques. Dans chacune d'elles on mène le diamètre conjugué de la direction OP et l'on projette Vorigine sur ci diamètre : trouver le lieu de cette projection.
[École Centrale, août 1881. {Éi
loncé pai-CieL]
L'équation générale des coniques passant î
i rinlersectioE
des lieux
(0 aY- + b-^'-^'l>'--o,
(^) c-X,' + ft^^^-a^=.j = o,
est
La droite OP a pour coerficient angulaire
Cl) "'-=;•
Le diamètre conjugué de cette direction, dont l'cquatio symbolique est
I9i I'= PARTIE. — GKOMETRIG A DEUX DIMENSIONS.
a pour équation
(5) ^(b^-œ^lcy + lb^^)-i-f.{ay-^lc^-^x:~la'^)=o.
Celte droite passe par un point fise F, intersection des droites
«■> iM + .j-.p-o.
La projetante de l'origine, qui reste perpendiculaire à la droite (5) et tourne autour d'un point fixe, donne comme lieu géométrique de ses rencontres avec celte droite (5), la circonférence décrite sur la droite OF des points fixes comme diamètre.
On peut opérer de deux façons :
[a) Construire graphiquement les droites (6), ce qui ne présente aucune difficulté; on a ainsi les extrémités du diamètre : O, F.
(b) Tirer des équations (6) les coordonnées du point F, par lequel passent tous les diamètres ; on aura ainsi le centre et le rayon du cercle.
On vérifierait ces résultats en éliminant \ entre les équations (.)) et (7), projetante de l'origine sur (5),
Le lieu obtenu est un cercle qui passe par les trois points O, F, R : l'angle en R est droit; OF est donc diamètre.
