Décomposition de l'équation des axes

Soll

l'éqiiation d'une conique; désignons par X, Y les demi-clérivées F^, F^ de la fonclion premier membre.

L'équaiion des axes de cette conique est

(2) B(X^ — y^) + (C — A)XYl=o; 011 peut récrire

(3) BX^ + (C-- A)Y.X— BY^ — o.

SîB^o, on multiplie par B et on complète îe carré commencé par les deux premiers termes. Il vient

Le premier membre de cette équation se décomposera en un produit de deux facteurs linéaires dont les coefficients seront fonctions rationnelles de ceux de l'équation de la conique, si

est carré parfait.

Dans ce cas, on poiirra séparer les axes de la conique sans introduire d'irrationnelles; nous verrons quel parti on tire de ce résultat dans la recherche des lieux de sommets.

Considérons les coniques représentées par l'équation générale étudiée au Chapitre IV,

(1) X^^-h2Za;y + Yj^-i- . . . = o,

et proposons-nous de chercher dans quelles conditions les axes de ces coniques pourront être séparés.

La fonction des coefficients

4B-+(C — A)S qui est ici

doit être un carré parfait.

Or F (a, 3) est un polynôme du second degré qu'on peut rendre homogène par l'adjonction d'une variable ■/.

Ce polynôme F (a, |3, y) sera carré parfait, si les trois dérivées sont proportionnelles.

Nous distinguerons deirx cas :

(a) Soit

A.k5 4- A' P^ + A"f -h 2 B^ï -H 2 B'-xv -H a B"a?

le polynôme F (a, fl) explicité.

SiA^o, on doit avoir

B" — AA" ^ 0, B"^ — AA' = o , B'B" — AB ~ o.

(It) Si A=; o, ces conditions deviennent

Donc, si l'on s'est donné à volonté un côté X ^ o du trian de référence, et la direction de l'un des deux autres,