Lieu des sommets des coniques représentées par l'équation

a;* — i\xy -]- y'' — ^\x -— o.

Le lieu des sommets de ces coniques s'obtiendra en éliminant le paramétre X entre les équations

sfl — iXicy -\- y'^ — a).^ ^ o,

i[(a;-ij--»r--(j--x«)']=o.

La seconde se décompose en trois fadeurs ; nous aurons donc trois parties distinctes du lieu

' ' jX = o;

(«•-aJ«j+j.-,Xx = o, {a: +y — \{x -^y + i) =o:

Le système («) donne

c'est le cercle de rayon nul, qui fait partie du faisceau . Le système (&) peut s'écrire

x'- -\- y- — ^{xy -^ x)X-o, (a:- 4-7) — (^ + y + i) i -^ o ; l'éliminant est

(■^-i-j)(^— J-)- — ■^- -2xy^y-^.o.

Lieu du Lroisième degré ayant un point double à l'origine,

droites rectangulaires dont les coefficients angulaires sont

La courLe a une branche parabolique dans la direction de la première bissectrice et une branche hyperbolique parallèle à la seconde bissectrice.

Elle peut être construite facilement en tou.pn.nt par une droite passant an point double

on conclut

ti + X)(,-X)='

La discussion de ces fonctions ne présente pas de difficnltés.

On opérerait de même pour le lieu (c).

2. Lieu des sommets des coniques dont l'équation est (i) x^ + \y^ — aX j; — 2^ = 0.

i' équation du système des axes est

{■i) (,->,)(.c-X)(Xj-t) = o.

Le lieu des sommets se compose donc de trois parties :

^^ly^^^la;^

-^ly^—^lx-

r'. + \y-^-.^lco-

(a) Si î, ^i^ [ , la conique, devient un cercle

dont tous les points font partie du lieu des sommets.

(b) Cette partie du lieu a pour équation

Cette courbe est asymptote à la droite s^ o; elle a une

branche parabolique dans la direction de l'axe des x et elle est tangente à l'origine à l'ase des ir. Sa construction peut s'effectuer en résolvant par rapport à l'une des variables. D'ailleurs .ï^ ne peut varier que de — i à + ^ ; >■ ne peut varier

que

de -

à o et de -

i + = ■ On a la courbe

senlée ^g. 4^. {Voir p. ao^.)

■epre-

3. Lieu des sommets des hyperboles équilatères ayant même centre et unpoint commun.

Prenons comme origine le centre fixe et, pour axe des a:, la droite qui joint le centre au point commun à toutes les lijperboles, soit a l'abscisse de ce point.

50Ï !'■» PABTIE. — GEOMETRIE A DEUX DlîlENSIONS.

Uéqiiatîon générale des hyperboles équilatères ayant leur centre à l'origine est

(i) 'k{x-'—y~-)-\-'i'f.xy-\--i^^o.

Ces coniques devant passer au point A, on a

l'éqiiallon générale devient

\(x'' —y-) ■'r-i'^xy — la^— o.

Nous pouvons diviser par X, non nul, et écrire

( a ) w^—y'-^'^^xy — «^ ^ o.

L'hypothèse >. ^ o donnerait la conicpe particulière

xy-o

qui satisfait analytiquemenl aux conditions imposées; son sommet est à l'origine : ce point fait donc partie du Heu.

Le Heu des sommets des coniques représentées par celte équation s'obtiendra en éliminant le paramètre 6 enti'e cette équation et celle des bissectrices des asymptotes, qui sont les ases de la conique

ixyfi—o.

I —-ixy + ix'- -/^jS =0.

Le lieu a pour équation

c'est-à-dire

(^'+y'y-a'-{j,'--f)'- C'esl une lemniscate.