Par les points communs aux courbes
(a) c^xy-\- b-px —-a^a-f ^=0,
ûii peut faire passer deux paraboles; trouver le lieu du sommet de ces paraboles quand le point P (a,^) se meut sur une droite de coefficient angulaire m. issue de l'origine.
Examiner les cas suivants
[École Centrale, août 1881. (Énoncé Partiel.) \
L'équation générale des coniques passant aux poinls communs aux coniques ( i } et ( 2 ) est
( 3) b'-x' + 2 1 c^xy + «2 js -\- -ilib^pw — a^a.f>— a'b- ^ o. Ce sera une parabole si l'on a
11 j a donc deux valeurs de X fournissant les paraboles
(4) («x+6^)=+ ^^^{b'-px - a'r^j)- a'b^---o,
(5) iay - bxY - ~(b'px - a'^y) -a'b'=. o.
(a) Pour définir le sommet des paraboles (4) nous allons chercher l'équation de l'axe de ces courbes.
On peut mettre un diamclrc quelconque en évidence en écrivant, dans la première,
(ay -i- bx -^ [i.y -^ 1 I — ^ — b]j.\x
■204 r' PABTEE. — GEOMETRIE A DEUX DIMENSIONS.
Ce diamètre sera l'axe, s'il est perpendiculaire à la tangente correspond anle, c'est-à-dire si l'on a
L'équation de l'axe des paraboles (4) est donc
Les équations (4) et (6) déterminent le sommet de la parabole.
Quand le point P se meut sur la droite donnée, ses coordonnées a, ^ satisfont à l'équation
On obtiendra donc le lieu des sommets des paraboles représentées par l'équation (4) en éliminant a et ^ entre les équations
(6) aj-^bx f- — " ~
(4) («/ i- h^y-^~^{b^?Jr - ci?-j.y)-a^lj^ ^ o.
On remplace g par ma dans les équations (6) et (4) et l'éliminant du premier degré donne
(8) [{ay-~bxy^^a'b']{a'~hhn)
— 2{a^ + b'-){aj+bx)(ay—b^m^) = o,
équation d'une conique ajatit son centre à l'origine ; le faisceau des directions asymptotiqucs s'écrit
{ay ^ ba:)[{ay + bx)- ^ia'^ + b~-)(a^y - b^mx)]-^o.
La conique est donc une hyperbole en général ; c'est une
Iijperboic éqiiilatère si l'on a
L'éljualion (8) donne alors
l'hyperbole se réduit à ses asymptotes.
La conique représentée par l'équatlori (S) est une parabole quand le faisceau asymptotlque se compose d'une droite double; il faut pour cela
la parabole correspondante est
(10) iay-^bxY + a'b-'Tr-.o,
deux droites parallèles imaginaires,
(6) L'équation de l'axe des paraboles (d) obtenue par la méthode que nous venons d'employer est
(11) ay — b.x^at- '—
en opérant comme nous venons de le faire on arriverait à (I.) [{ay-b^.y^aW^]{a' + b'm)
— 2(a^ -h &')(«/— bx){a*y — b^mx) = c
équation du lieu des sommets des paraboles {5),
On a encore une hyperbole ayant son centre à l'origine. Cette hyperbole est équilatère lorsque
et la conique se réduit à ses asymptotes
ay ■-■ bx =^0, by + ax ^= o.
La conique (ip. ) devient une parabole lorsque
m — - , son équation est alors
on a encore deux droites parallèles imaginaires,
