CÏÏAP. XI. — POLE. POLAIRE
équalion qu'on peut résoudre par rapport k y et écrire
IL — Lircx I
1. Lieu du pôle d'une droite roulant sur un cercle fixe par rapport à une autre circonférence fixe.
Soit C («, b) le centre du cercle sur lequel roule la droiie
mobile {fig- 45) ; l'équation de cette droite est (I) {x^a) costp ^h (7 -' b) sin-^p - R :z= o.
Son pôle par rapport au cercle
est déterminé par ses coordonnées s, (3 satisfaisant aux conditions ,,, coso Pm9 .xcos^a-f-fr^ina+R
yGoosle
saS V PiRTlE. — GÉOMÉTRIE A DEUX. DIMENSIONS.
On obtiendra l'équation du lieu de ce point en éliminant l'angle ip entre les trois équations
(/■^ - «a) cos¥ - 6a sin-f - Ra =. o, — «^.cos-û + (r' — 6^) slrni — Rp - o, co5''ffi-!-sin-9--i = o, ce qui donne
Ka Kp (r'---a-..-f>p)
On a donc
équation d'une conique ayant un foyer à l'origine et pour directrice correspondante la droite
polaire dn point C par rapport au cercle
L'excentricité s de cette conique est donnée par
^ — Rî ;
sa nature est donc variable suivant la position du point O par rapport au cercle C-
Si le point O est à l'intérieur du cercle
la conique est une ellipse.
Si le point O est sur le cercle,
la conique est une parabole,
Enfin, si le point est extérieur au cercle C, la conique est une hyperbole. Ces résultats s'obtiennent facilement par des considérations purement géométriques,
2. On donne une droite D dont l'équation par rapport à deux axes rectangulaires Ox, Oy est
et l'on considère tes différentes coniques qui, ayant pour axes Ox, Oy, sont normales à la droite D.
Chacune d'elles rencontre cette droite en deux points. En ces points, on mène les tangentes à la conique. Trouver Véquation du lieu du point de rencontre de ces tangentes.
{École Polytechnique, 1878. {Énoncé partiel.)]
(a) L'équation générale des coniques ayant O^, Oj'
(I) Xw'^-Cy'-i-:.-o.
Nous allons d'abord établir entre A, C, p, q la relation nécessaire et suffisante pour qiie la conique ( i ) soit normale à la droite
11 faut pour cela que A et C soient tels qu'une normale à la conique ( 1 ), dont le pied a pour coordonnées X, |j,,
coïncide avec ta droite (3); on doit donc avoir
(4) Âi' + Cf».- — 13=0,
(5) /)Cia4-?AX = o,
yGoosle
■lin l'' PARTIE. — GÉOMÉTRIE A DEUX DIMENSIONS.
Si l'on élimine î. et |j, entre ces équations, on obtient (7) \GiGp^-^Ag-)-{A-Cy- = o.
Les conicjues de l'énoncé sont donc représentées par l'ccjualion (i) accompagnée de ia condition (7).
( b) Un point (a, p) du lieu chercké est le pôle de la droite fixe D par rapport aux coniques variables de l'énoncé .
On a donc
c'est-à-dire
On obtiendra donc l'équation do lieu du point (a, g) en éliminant A, C entre les équations {7), (9), ( 10). Cette élimination très simple donne
équation d'une parabole ayant pour diamètre la droite
perpendiculaire à D, et pour tangente correspondante la droite
On reconnaît facilement que la parabole ( 1 1 ) passe aux points
rencontres de la droite D avec les axes de coordonnées.
3- On donne une ellipse et un point P dans son plan; par le point P on mène une droite PZ dont on prend le
pôle Ç^par rapport à l'ellipse; on projette le point Q sur la droite PZ : lieu de cette projection.
Soient
l' équation de l'ellipse, a, 3 les coordonnées du point P.
Une droite quelconque menée par le point P a pour équation
(3) ,,fl i(^„)^o.
Les coordonnées «, v àvt pôle Q de cette droite seul fournies par
— i I " — fS-l-)>œ' c'est-à-dire
La projetante de ee point sur la droite {2) a pour équation
L'équation du lieu cherehc s'obtient en éliminant >, entre les équations (2) et (3); il vient
{'X){^X-ay){y(y-f) + œ{x-a)]^c'-{x-^){y-h)^o,
équation d'un lieu du troisième degré dont les directions asymptoliques sont celles de la droite OPet des droites isotropes; il présente un point double en P, etc.
Remarque. - Geltc question est ni\c. tranaformiilion tlu [)ro-
4. On donne une ellipse et un point P sur son grand axe. Par le point P on mène une droite PZ quelconque
rencontrant l'ellipse aux points A, B; on mène les tangentes en K et "Q à l'ellipse et Von demande le lieu des points de rencontre de la sécante VL avec les bissectrices CM, CM' des tangentes CÂ, CB, Soient {fig. 46)
l'équation de l'ellipse;
Fis. '\('-
-/ l'abscisse du poin L P ;
a, ^ les coordonncns du point C;
X, [j. les coefficients angulaires des tangentes issues de ce
poinl ,
Les bissectrices de ces tangentes ont poiu- équation
X, ;j. satisfont à l'équation (3) (p ma)^-~-«W--6= = 0,
équation aux coefficients angulaires des tangentes à J'eUipse, issues du point (a, p); c'est-à-dire
Or l'équation (a) peut s'écrire
yGoosle
CHAP. SI. ~ POLE. POLAIBE. ^ii
on a donc pour équation des bissectrices
Les points M, M' dont on cherche le lieu sont à l'intersection des bissectrices (5) et de la droite
polaire du point C ; a satisfait d'aillevu's à l'cquation (7) „.f«--^o,
exprimant que la droite (6) passe an point P.
On est conduit à éliminer a, ^ entre les équations
On conclut l'équation du lieu
(8)a^bH-r-^)i\y-{r^~'^'-y---[yf'~-f>'(-i~^)T]
-[{a'-cY)f'-à\y~-^n^y(:!^~a')[yr—bHt~^)]^-o.
Ce lieu se décompose en deux :
i" L'axe des x, solution provenant du cas où la sécante variable passe à l'origine : C est rejeté à l'infini ; un point quelconque de Ox fait partie du lieu ;
a" Un lieu du cinquième degré, symétrique par rapport à l'axe des x : l'axe des^ est direction asymptotique simple; l'axe des x, direction asymptotique double, etc.; ce lieu passe aux points de contact des tangentes à l'ellipse menées par P; il est tangent à la parallèle à Oy menée par P, etc.
