CHAPITRE XII
RlPPlil. DE llKSULTATg.
Définition. — Les foyers, dans les courbes du second ordre, sont des points tels que la distance d'un point quelconque de la courbe à l'un d'eux est une fonction rationnelle et linéaire des coordonuées du point.
La droite dont on obtient l'équation en égalant à zéro cette fonction linéaire et rationnelle s'appelle la directrice correspondant au foyer considéré. Elle est la polaire de ce point par rapport à la conique.
En étudiant la forme de l'équation focale des coniques, on reconnaît que cette équation est analogue à celle des coniques bitangentes à un cercle à ses rencontres avec une droite de son plan.
Le cercle a son centre au foyer et un rayon nul; la droite des contacts est la directrice. On voit ainsi que du foyer partent à la conique deux tangentes imaginaires dont les coefficients angulaires sout -(- i et — i.
En partant de cette remarque, Pliicker a donné dans le Journal de Crelle la définition suivante des foyers ; ce sont les points par lesquels on peut mener à la conique des tangentes isotropes. Cette forme de la définition est souvent employée avec avantage dans les applications. On Tétend aux courbes de degré quelconque.
(a) Un foyei' ayant pour coordonnées a, p, on peut mettre l'équation de la conique sous la forme
(I -.)> + (7 -?)■-.•(=. 00!. + J'>mT-,p)'-o;
a; cosf -!-}' siny — jn = o est l'équation de la directrice correspondant au foyer mis en évidence.
t s'appelle V excentricité ;
Si £ > I, la conique est une hyperbole ;
Si É < I, la conique est une ellipse; Si e = 1, la conique est nnt parabole.
(6) Soil/{u, f ) = o l'éqùalion tangenùellc d'une conique; ses foyers sont à l'intersection des hyperboles éijuilatères, concentriques
/(a2--^5)-^3rf,c-'2ep-;-« - c = o,
résultat obtenu au Ghav. V, (§ II).
(c) Si 'p(a^,jK) = o est l'équation carlésienne d'une conique, ses foyers sont à l'intersection des coniques
îpjj, ip' sont les dérivées partielles de la fonction ^. La seconde équation peut s'écrire, en tenant compte de la première,
B (?'i -?'(?)+ fG~A)<p;o;^o,
ce qui montre que les foyers sont sur les axes.
{d) On obtient l'équation du lieu des foyers de coniques dont l'équation renferme un paramètre variable, en éliminant ce paramètre entre l'équation du système des axes
B(?'i'-f'p^J-'-(C -A)'f;.^^^o, et celle de la conique
4B-fta,p)~-^;ç; = o.
(e) Si l'équation des axes peut se décomposer en un produit de facteurs linéaires dont les coefficients soient des fonctions rationnelles du paramètre variable, on pourra décomposer d'une manière correspondante le lieu des foyers.
(/) Si l'on a formé l'équation tangentielle des coniques que l'on étudie, on pourra trouver l'équation du lieu des foyers en éliminant le paramètre variable entre les équations (6).
{g) On peut encore opérer ainsi dans la recherche des lieux de foyers ;
On écrit l'équation générale des coniques du plan en mettant un foyer en évidence.
et l'on exprime que les coefficients X, jt, u satisfont aux conditions imposées. En éliminant ces paramètres entre les quatre équations ainsi formées, on obtient la relation qui doit exister entre a, p, pour que ce point soit foyer d'une des coniques du système; c'est l'équation du lieu des foyers.
(FoiVEs. 8.)
1. Lieu des foyers des hyperboles équilatères circonscrites à un rectangle variable dont un sommet se meut en ligne droite et dont les côtés opposés à ce sommet conservent une position fixe.
Prenons {Jig- 4'j) comme axes (Je coordor\nc(;s les côtés
fixes du rectangle. Soient AB !a droite-lieu du sommet mobile, M {x, g) tine position de ce point.
Les hyperboles équilatères doivent passer aux quatre points O, P, M, R, intersection des coniques
(a) «(a,-.)=oi
leur équaùon esl de la forme
(3) a:(«-i) + lj(j-p):^o,
avec la condition
