OP, RM] [OR, MP
yGoosle
Elle est donc finalement
(4) ^^..^^-ax+P7r^0,
a, ^ étant liés par l'équation de condition
Les ases de ces coniques peuvent être séparés; ils uni pour équations
On obtiendra le lieu des foyers situés sur la première de ces droites en éliminant a, g entre les équations
(8) 8(»=-7'-I»' + Pj)-(»»'-.)' + (27-p)'r:.0.
On a ainsi
c'est-à-dire
(lo) U — — la;- — 2 -377+7- — —a: — 67— -^--=7 0.
À'iH I™ PAftIIE. — aiiOUETRI i; \ DEUX DJWIÎIVSIONS.
La nature de la conique représentée par cette équation est variable avec la position de la droite AB; c'est une parabole si
S — (« + 6)(a— ft) — o,
c'est-à-dire si AB est parallèle à l'une des bissectrices, etc. Le lieu des seconds loyers s'obtient de la même façon.
2. Lieu des rencontres des axes des paraboles ayant un sommet donné et passant par un point donné avec le cercle passant au foyer et ayant son centre au sommet de la parabole.
Plaçons l'origine au sommet donné et prenons comme axe des X la droite joignant ce sommet au point fixe donné.
L'équation générale des paraboles ayant un sommet à l'origine est
Ces coniques passent au point donné y ^ o, ^ i— a si l'on a
et l'équation des paraboles de l'énoncé est
L'axe de l'une de ces coniques a pour équation
Le cercle de l'énoncé a pour rayon le demi-paramètre de la courbe, et son centre est au point O. Pour obtenir le paramètre, il suffit d'écrire l'équation de la parabole en mettant les distances en évidence
yGoosle
On
Le
cercle
a donc
ir
équation
L'équation du lieu obtenu en éliminant X entre les équations (4) et (')) est finalement
elle se décompose en deux
(9) f^a:{a;'-^y-)-af=^o.
(10) ^x(x^-hy^)-i-ay'- = o.
3. Lieu des foyers des coniques inscrites dans un parallélogramme.
Prenons comme axes de coordonnées les diagonales du parallélogramme ; soient «, b leurs demi-longueurs.
Ces diagonales forment avec la droite de l'infini un triangle polaire conjugué par rapport à toutes les coniques du système.
L'équation de celles-ci est donc de la forme
la conique représentée par cette équation sera tangente au
du parallélogramme, si le faisceau des droites, joignant l'origine ans points communs de (i) et de (2), a un rajou double.
iO r" PARTIK. — GKOMETRIE A OEUX
L'équation de ce faisceau est
?-?-(s-^iy-^
on doit donc avoir
Cette équation de condition est indépendante des signes de « et è dans l'équation (2) ; il suffit donc d'exprimer le contact avec l'un des côtés du parallélogramme, pour que cette condition réalisée entraîne le contact des trois autres côtés. L'équation des coniques du système est donc
(3 bis) Y+-~ 1 = 0,
avec la condition
L'équation tangcnticlle des coniques (3i(.v) est
Si noiis formons l'équation homogène entre u, p qui donne les coefficients angulaires des tangentes de la forme
(6) ua, + ^y-t-i^o, menées par le point (a, g), nous trouvons
(7) X„=^^^^(„:cH-<.p)^^o,
celle équation se réduira à
si le point (a, (3) est fojer de la conique (5); donc on doit
avoir
On oLliendra TéquaLion du lieu cherché en éliminanl )., [ entre les équalious (g) et l'équation (4). Il vieul
iilonc
Ce Heu esL une conique,
4. Lieu des projections du foyer de ta parabole sur ses normales.
Soit
l'éfjuaùon de la parabole; (a, [3) étant un point de la courbe,
fi) ?— ^/J^--=o,
et la normale en ce point a pour équation (3) ^a: ^py- HP + '■)=<>■
La projetante thi fojer i^, o j est
L'équalion du lieu étudié s'obtiendra en éliminant a, fj entre les équations (a), (3) et (4)-
R, — Eœ. de Géoni. anal. iG
Ou oljiienl. racîlcment
2a,- —p Une substitution donne dans (a)
Transportons les axes parallèlement à enx-mêiTies et pkçons l'origine au foyer ; il vient comme nouvelle écjuation
Le lieu se décompose donc en deux parties : les droites isotropes et une paraliole.
Il est facile de se rendre compte de la présence des droites isotropes dans ce lien géométrique : du foyer partent à la parabole denx normales isotropes (résultat déjà obtenu pour l'ellipse et qu'on vérifie facilement au moyen de l'équation aux coefficients angulaires des normales issues du foyer) ; les projetantes du foyer sont ces droites elles-mêmes; tous leurs points font partie du lieu.
o- Lieu des foyers des paraboles tangentes à une droite donnée en un point fixe h. et à une seconde droite donnée en un point variable B.
Soient Oâ, OB les droites données; prenons OA comme axe des x, et comme axe des y la perpendiculaire à cette droite menée par le point O.
L'équation générale des paraboles du plan est
(i) {y^\xy^'i^x + 2wy + 'i — <:,.
yGoosle
Elles soni tangentes à Ox au point A, si l'équation aux abscisses des points de rencontre de cette droite avec Ox a ses racines égales à a.
Cette équation est
L'équation (i) devient
Soit
l'équation de la droite OB, oUe doit être tangente à la parabole; l'équation
(6) ^t(^ ),)., (XVi-v«ï)^+X^«=^o doit donc avoir ses racines ég^ales ; c'est-à-dire qu'on a
Cette condition se décompose en (S) Va~-.m-^la(,n-^\) = o,
(9) 'A^a-.m-'Aa(m~l)^o; c'est-à-dire
(Bbù) m{la~;) = o,
(a) La condition (8) donne v^X« ou, en portant dans l'équation (4),
(10) {y — livy — 2'h.-ax + '>.'i-.ay -^- l^a- — o;
^44 y PARTIE. — GKOHÉTBIK \ DEUX IIIMIÎNSIONS-
c'est-à-clirc
OH enfin
(II) [j.-X(^-«)P = o,
parabole singulière formée d'une double droite passanL en ;V. (b) La condition (g) donne
L'éqiialion des paraboles devient donc
On peut l'écrire, en divisant par À" et oppclam ;j. le nonveau paramètre,
(.3) {,.j^)^^-a«^ + 2«(2-,„,,jv + a"- = o.
|j' application de la méliiode déjà employée donne pour équation du lieu des fojers
(i4) ai^+y' — ax -+- amy = o.
Ce lieu est donc une circonférence passant en A et taiigente en O à la droite OB.
Solution géométrique. — Soit {/Ig. 48) F le foyer d'une des paraboles considérées; je dis que l'angle OFA est le supplément de l'angle BOA, et que dès lors te lieu des foyers des paraboles est le cercle décrit sur OA comme corde et capable de l'angle constant OFA.
En effet, prenons les symétriques de F par rapport ans tangentes OA, OB; les points G, H ainsi obtenus appartiennent à la directrice PQ correspondant au foyer F.
Les angles OGA, OFA sont égaux, ainsi que les angles
OFB, OIIB. Or le Iriangle GOH est isocèle par construclion ; donc les angles OGA et OHB, formés chacun d'un angle droit augmenté des angles égaux HGO, GHO, sonl égaux;
en est de même des angles OFA, OFB et de leur demisomme GFH, supplément de BOA.
6. On donne deux droites rectangulaires AB, CD et l'on considère les hyperboles ayant la droite AB pour asymptote et tangentes à la droite CD au point fixe P. On demande le lieu des foyers de ces hyperboles.
{École Normale, i%(,-^. {Énoncé partiel. )\
La solution analytique de cette question se ferait en appliquant la raéthode employée dans les exemples qui précèdent. Nous donnerons la solution géométrique suivante ;
Soient {fig. 49) F le foyer d'une des coniques remplissant
les conditions de l'énoncé; O le point de rencontre des droites AB, CD. Si l'on joint OF, PF et qn'on mène la parallèle FE à l'asymptote AB, les angles EFO, OFP sont égaux (<).
Je dis que les segments OB, BF sont éganx; en effet : l'angle en F du triangle BFO a pour valeur EFO — EFB; l'angle en O du même triangle a pour valeur OFP — OBF:
Fig. 49.
es termes de ces différences sont égaux chacun à chacun ; le triangle OBF est isocèle : la proposition est démontrée.
Le lieu du point F est donc une slrophoïde droite ayant le point P et la droite ÂB comme éléments de définition.
