Coniques ayant un foyer commun
En prenant ce foyer comme origine, leur équation peut
s'écrire.
(i) x^^y"- — t^{x coBip + / si
et, si l'on pose
n = a^cosœ-l- jsin (5) ^.4-j,.,.D'
i propriété démontrée dans i
D := o est l'équation rie la directrice correspondant an foyer fixe ; Of d, & sont les paramètres variables.
Quand l'équalîon d'une conique est écrite sous la forme ( 2 ) il est souvent utile d'employer une forme particulière, que nous allons donner, pour l'équation de la tangente.
Les coordonnées d'un point M quelconque de la conique (2) peuvent s'écrire
(3) a- = .Dco„,
(4) j- = .D.in,,
a étant l'angle du rayon vecteur focal OM avec l'ase des x. En substituant ces valeurs dans l'équation
de la tangente au point {x,y,z), il vient
(5) ^cos=. + 7si.i=.-.D = o.
Nous citerons, comme exemple de l'application immédiate de cette forme d'équation, la question suivante :
Lieu des points d'où l'on peut mener à une conique des tangentes telles que la corde des contacts soit vue du foyer sous un angle donné a 6.
Les équations du problème sont les suivantes :
(6) ^cosa + jsincc-ED^o,
(7) ^co5p4-.7sinp-ED=o,
On conclut
(9) ^^^E^'^'^^^r^' (10 y^z— — -sia -,
pins
Le lieu est donc une conique ayanL même foyer el même directrice ([ae la conique (i); son excenlricité est e =: — ~â'
Autre application, — On donne deux coniques ayant un foyer commun; un angle de grandeur constante, ayant son sommet au foyer, pivote autour de ce point. Lieu des rencontres des tangentes aux coniques menées par tes points ofi elles sont rencontrées par les côtés de l'angle mobile.
S. Le lieu des foyers des paraboles normales à une droite et qui la coupent en deux points fixes est une cissoide.
(Mestion.)
Prenons comme axe des x la droite donnée et pour axe des;>' la perpendiculaire à celle droite menée par celui des deux points fixes où la parabole est normale à celle droite.
Soil {a, p) lin point quelconque du plan; l'équation générale des coniques ayant ce point comme foyer est
Les coniques représentées par cette équation satisferont à l'énoncé si l'on a, entre les coefficients >.,si, v, les relations suivantes :
(a) La conique est une parabole: S = o :
l^i) Elle passe à l'origine ;
(c) Elle csi normale à l'axe des x :
(d) Elle passe au deuxième point donné snr O^. Soient a, o ses coordonnées, on doit avoir
(5) («„,). + p,.„(U+„)^^o, c'esl-à-dire, e» tenant compte de la condition (!>},
(6) 7.Mi-î-^)-aa(a + )>v) = o.
Nous obtiendrons l'équation du lieu des foyers en éliminant les paramètres >>, \).,t entre les équations {2), (3), (4) et (6); on obtient facilement des trois premières
Portant ecs valeurs dans l'équation (6), il vient comme équation do lieu,
(.0) =.U' + f')-ïf=:.0.
forme sous laquelle on reconnaît une cissoïde ; le diamètre
Solution géométrique, — Soit AB{Jig'. 00) la normale aux paraboles en A, AC sa perpendiculaire est la tangente ; soit C !e point de rencontre de cette dernière droite avec la directrice d'une des paraboles du faisceau.
Si par ce point C on mène une parallèle CD à AB, on
aSo !■"■ PARTIE. — géoiiëtkie a deux dimensions.
obtient une seconde tangente à la parabole, et si D est son point de contact, le foyer de la parabole parliculière correspondaBte est siir la droite AD (polaire de C).
D'un autre côté, ce foyer est sur la perpendiculaire à AD issue dn point C (la portion AC de tangente à la parabole
est vue du foyer sous un angle droit). Le point F est donc te foyer de la parabole considérée.
Traçons le cercle décrit sur AE comme diamètre ; si R est le point de rencontre de ce cercle avec AD, on a évidemment
Donc le lieu du point F est la cissoïde dont les éléinei sont ceux que nous venons de définir.
Nota, — La solution que nous venons de donner permet de c struire une parabole, connaissant un angle droit cifconscrit à
9. Coniques homofocaks. — -Des coniques ayant mêmes foyers sont dites homofocales : leur équation générale peut
X^ variant de o à c^, les coniques sont des hyperboles; ce sont des ellipses dans les auti-es cas, etc.
Nous rappeUerons que :
1° Par un point quelconque du plan passent deux coniques du système : une ellipse et une hyperbole ;
2" En chaque point commun ces coniques sont orthogonales; c'est-à-dire se coupent à angle droit.
Parabole, — Pour que des paraboles soient honiofocales, il faut et il suffit qu'elles aient même foyer et même direction d'axe.
Nous avons étudié (Chap. V) le Heu des points de contact des tangentes menées à des coniques homofocales par un point fixe.
10. On donne une ellipse et une hyperbole homofocales dont O est le centre commun. Par un point quelconque P de V hyperbole, on mène des droites parallèles aux normales à l'ellipse aux points où elle est coupée par l'hyperbole. Soient H et K les points oà ces droites coupent l'hyperbole et I le milieu du segment HK : démontrer que les deux droites OP et 01 sont également inclinées sur le grand axe et que le rapport de OP à CI est constant.
(Lagtterbe.)
Soient les deux coniques homofocales
J-t-g-,.^0 (Ellipse),
^2— ■^ — '=0 (Hyperbole); al—a^ — \, bl — l — b'-.
yGoosle
2ô'i 1™ rAiiT[i;. — GiioiiiiTRiE .v deux dijiensions.
Les coordonnées dos poinLs M et K sont
Deux coniques homoiocales sonl orthogonales, donc la normale en M à l'ellipse est tangente à l'hyperbole; il en est àr même an point N.
Soient ;î;oj^o '«s coordonnées du point P,
Le coefficient angulaire de la tangente on 51 à l'hyperbole
ab, est r-
Le coefficient angulaire de la tangente en N à l'hyperbole
est '--
Les denx parallèles menées par le point P ont pour ét|ua-
Les coordonnées du point li sont («'+ 6')a;o
jelle;
idu
poi
m K sont
Los coordonnées du point 3, milieu de ICH,
Le coefficient angulaire de la droite OP est — ■ Le coel'-
ficienl ang-idaire de la droite 01 est -■ Ces deux droÎLcs
sont donc également inclinées sm- 0^.
Calculons le rapport -^ :
TTT' i"' + !>''',. ^. ,, (■
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