CONIQUES REMPLISSANT DES CONDITIONS DONNÉES

1. On peut prendre l'équation la plus générale des courbes du second ordre

Ix"^ -H a;J-^/ -H v/^ H- 9A' œ -\- i\i'. y -1- =: o,

et exprimer successivement les conditions imposées,

Dans certains cas, on pourra éliminer quatre des parnmèlres entre les équations de condition; l'équation restante avec un seul paramètre est l'équation générale des coniques remplissant les conditions données.

Dans d'autres cas, on ne pourra pas, ou l'on ne voudra pas, pour des raisons de symétrie ou autres, résoudre les équations par rapport à certains paramètres ; on devra alors joindre à l'équation générale, dont tous les paramètres sont variables, les équations de condition.

2. On peut également clioisir les ases de telle sorte que la condition la pins compliquée de l'énoncé s'exprime immédiatement en tenant compte des résultats précédemment trouvés.

Il suffira d'établir ensuite entre les paramètres qui restent les relations caractéristiques des conditions imposées par l'énoncé.

RiiMAliQUE ESSENTIELLE. -— Quelle que soit celle des deux méthodes qu'on emploie, on devra avoir soin, au moment où l'on rompra l'homogénéité par rapport aux coefficients en divisant par l'un d'eux, de remarquer que cette opération exclut l'hypothèse d'une valeur nulle de ce coefficient.

On écarte donc certaines coniques par ce fait même; alors, on devra examiner les résultats produits par l'iiypothèse supprimée dans l'équation générale.

R. — Ex. de Gcom. anal. 17

Deux cas peuvent se présenter :

i" La valeur nulle du paramèlre par lequel on a divisé, portée dans l'équalion générale, donne à celle-ci une forme incompatible avec les autres conditions imposées; dans ce cas, on n'a en réalité rien supprimé en rompant l'homogénéité, et l'équation non homogène obtenue est l'équation générale chercliée.

2° La valeur nulle du coefficient diviseur portée dans l'équation générale donne des coniques qui peuvent être astreintes aux autres conditions données ; dès lors , nous devons faire encore une distinction entre :

(a) Le cas où l'équation réduite n'est celle que d'un nombre limité de coniques ;

(6) Celui oii l'équation réduite est celle de toute une famille de coniques.

(a) Les coniques particulières représentées par l'équation réduite seront le plus souvent des solutions singulières :

(Droites se coupant au Heu d'hyperboles, droites pai'alièles au lieu de paraboles, droites isotropes, etc.)

On devra les examiner avec soin; car elles nous donneront TexpUcation de certaines solutions rencontrées dans les questions traitées ultérieurement et qu'on rejette souvent à tort sous la dénomination non justifiée de solutions étrangères.

{b) La famille spéciale des coniques de l'équation réduite devra être l'objet d'un examen particulier pour toutes les questions posées. Le problème général sera alors décomposé en deux :

i" Étude générale de l'équation réduite;

a" Élude générale de l'équalion obtenue en rompant l'homogénéité.

Il y a lieu d'observer que îa discussion précédente n'est

pas nécessaire quand il s'agit unicfuement de la recherche des lieux géométriques; car les équations de ceux-ci s'obtiennent par l'élimination des paramètres, et leur éqnalion est la relation qui existe entre les coordonnées d'un point de ce lieu, indépendamment des valeurs nulles ou infinies, réelles on imaginaires des paramètres auxiliaires.

Cependant nous conseillons toujours de faire cette discussion en étabhssant une équation générale ; car on y rencontrera les coniques singulières permettant d'expliquer facilement la présence de certains facteurs du lieu géométrique étudié.

Au contraire, si l'on traite une question dans laquelle on exprime certains éléments de la figure en fonction des paramètres restant dans l'équation écrite comme équation générale, il J a lieu d'examiner avec grand soin si l'on n'a pas supprimé, en formant cette équation, générale, certaines coniques ou certaine famille de coniques.

Dans cette hypothèse, l'expression trouvée ne serait, bien entendu, pas générale. La discussion indiquée plus haut s'impose dans ce cas.

Conditions diverses. — Une conditloii est dite simple, quand elle s'exprime par ime seule équation; double, quand elle s'exprime par deux équations; etc.

Toute propriété se traduisant par une inégalité constitue une restriction et non une condition.

Parmi les éléments des courbes du second ordre, nous distinguerons les éléments simples ou ordinaires et les éléments doubles ou principaux ; ces derniers portent aussi le nom d'éléments rernarquables.

Éléments simples. — On appelle éléments simples ceux qui ne sont pas déterminés quand la conique est donnée : un point, une tangente, une normale, un diamètre.