o V PARTIli
Un élément simple donné correspond à une ctjnatlon de condition.
Éléments principaux. — Ils sonl délerminés quand lit conique est donnée : un centre, une asymptote, une directrice, nn foyer, un sommet, un axe, une tangente au sommet.
Un élément principal donné correspond à deux équations de condition.
En général, la connaissance simultanée d'un élément simple et d'un élément principal constitue trois conditions; de même, la connaissance de deux éléments principaux constitue quatre conditioiis.
Mais il n'en est plus ainsi lorsque les éléments donnés ont une relation entre eux.
Ainsi un centre et une tangente constituent trois conditions ; ces éléments sont indépendants l'un de l'autre ; — un centre et un diamètre ne constituent que deux conditions, le diamètre devant passer par le centre.
De même, une asymptote et un foyer, un foyer et la directrice correspondante, nn axe et une asymptote, un foyer et Taxe non focal constituent quatre conditions ; mais deux directrices, un centre et un axe, deux diamètres en position, une directrice et un axe, un foyer et l'axe focal ne constituent que trois conditions : les deux directrices sont, en effet, parallèles, l'axe donné passe au centre, l'axe est parallèle ou perpendiculaire à la directrice donnée, etc.
Deux tangentes, leurs points de contact et le centre, constituent cinq conditions : en effet, les deux tangentes et leurs points de contact étant arbitraires, le centre doit se trouver sur la droite qui joint le point de rencontre des tangentes au point milieu de la corde des contacts, etc.
i!. — FoKJi.vTioN d'iîqu.vtio:
1. Équation générale des paraboles passant par deux points donnés et dont les diamètres ont une direction donnée.
{École Centrale, 1880.— a' session-)
Prenons comme axe des x la droite joignant les points donnés, et comme axe désola perp en die ni aire en son milieu ; soient aa la distance des points donnés, m le coefficient angulaire de la direction donnée.
L'éqoaiion générale des paraboles dont la direction des diamètres a pour coefficient angulaire m est
ces paraboles passeront pai- les points donnés si l'équation aux abscisses des points de rencontre avec Ox a ses racines respectivement égales à 4- a et — a.
Cette équation anx abscisses est
(2) m'x' + ,lx + ti = o-.
on doit donc avoir
L'équation demandée s'écrit donc (5 ) {y — mxy- -H 2|;.j — ti' ni' = o.
2- Équation générale des hyperboles équilatères passant par un point donné sur Ox et tangentes à Oy en un point donné.
(École Centrale, 1879. — 1" session.)
Soient A (a, o) le point donné sur Ox; B(Oj b) le point donné sur O/.
2&y. 1"' PAIiTlE. — GEOMETRIE A DEUX DIMENSIONS.
L'éqnalion générale des hyperboles équilalères dn plan est Ces coniques passent au poinl A si Ton a
Elles sont tangentes à O^ au point B si l'équation aus ordonnées de leurs points de rencontre avec 0/ a ses racines égales entre elles el à b.
Cette équation aux ordonnées est
(3) X^.^ + ,,^y + o = o; on doit donc avoir
on conclut
L'équation générale demandée est donc
ou, en divisant par "k et conservant la lettre -^j, pour désiguer le nouveau paramètre,
L'iijpothèse écartée, 7, = o, donnerait l'iijperbolc singulière
xy^ o formée par tes deux axes de coordonnées qui remplissent analytiquement les conditions de l'énoncé.
3, On donne deux axes rectangulaires Ox, Oy; un point A. surOx, un point Ë sur Oy ; par le point A on mène une droite AR de coefficient angulaire m; former l'équation de l'hyperbole tangente à Ox au point O, gui passe en B et a pour asymptote la droite AR.
(École Centrale, 1880. — 1™ session,)
L'équation générale des coniques tangentes à l'origine à l'ase des x est
Ces coniques passeront en B si cette équation est vérifiée par ^ = o, j)' ;= 6 ; il vient
L'éqiiation ( i } devient
(3 ) \x- ^ 2}j.xy ^ •^y'' — wby ^ a.
La droite AR, dont l'équation est
sera asymptote si l'équation aux abscisses des points communs à cette droite et à la conique a ses racines infinies. Cette équation est
On doit donc avoir
On conclut
(9) ^-~V- „,„,,., ■ — — 2;Am ,„„, , T-
L'éqnatioii (3) devient (10) m(aiii -\- b)a.- -~ (2C(m4- ^}^J' + "/' — abyr= o. C'est l'éqnation demandée.
4. équation générale des coniques ayant un foyer donné el une asymptote donnée.
{École Centrale, 1878. — a= session.)
Prenons le fojer donné comme origine; comme axe des x, la fierpcndicuiaire à l'asymptote donnée; soit
son équation.
L'équation générale des coniques ayant un foyer à l'origine est
La droite (i) sera asymptote si l'équation aux ordonnées des points communs à cette droite et à la conique (2) a deux racines infinies.
Cette équation aux ordonnées est
(3) (,-,.«)j'~a(l<ï + ,)„.+o'(À<. + .)-- = o; on doit donc avoir
(5) „.(Jo + ,) = o.
UIIAP. XIII. — DBTEIIMINATION DES CONIQUES. 265
La solution ii:=o del 'équation (5) n'est pas solution de (4); les équations de condition se réduisent donc à
(5 bis) la + -.r^O.
Les coniques remplissant les conditions dn l'énoncé se divisent donc en deux séries :
Dans chacune d'elles, la directrice correspondant au foyer fixe passe par le point fixe rencontre de l'axe des x avec l'asymptote fixe.
5. Équation générale des hyperboles équilatères passant aux points communs d'un cercle et du système formé par un diamètre donné et une parallèle quelconque à ce diamètre.
Prenons comme axes de coordonnées le diamètre donné et la perpendiculaire à ce diamètre menée par !e centre.
L'équation du cercle est
(1) ^5+^5„Rî = o.
Le syslème des droites Ox^ AB a pour équation
L'équation générale des coniques passant à l'inEcrsection de ces coniques est
(3) 7(/-|.) + M^-Hj=-U^)-^o,
yGoosle
ï6fi l''^ PARTIE. — GÉOUÉTRIE ,V DEUX DUIENSIOXS.
Ceitc conique sera une hyperbole éqiiilatt;re si l'on a
L'cqualion des hyperboles cquilatères cie l'énonce est donc (5) a:=-7^ + 3;j./ — R' = 0.
6. On donne deux axes i^ectangulaires Ox, Oy; un point A sur Ox, un point B sur Oj : former l'équation générale des paraboles telles que, pour chacune d'elles, Oy soit la corde des contacts des tangentes issues de A et Ox la corde des contacts des tangentes issues de B.
(École Centrale, i883. — i'" session).
Soient OA -— a, OB =- b ; l'équalion générale îles paraboles du plan est
(I) (,,Xa;)^^a;A^ + av7H-0^o.
La polaire du point A(i7, o) doit être l'axe des y ; l'équation de cette polaire est
(a) a\- (y - \x) ), ^ ,;.] + ,^a^ + vj + = o.
On doit avoir
(3) .aX = o,
En tenant compte de ces conditions, (i) devient
(5) (^X^y^^^^i-2«>>j-hÛ = o.
La polaire du point B(o, 6) doit être l'axe des x: l'équa-
lion de cette polaire est
(6) b (y — Ix + al) - - ^ + aly -i-d-: o; on doit donc avoir
(7) bl^-^-^o,
(8) abl~i-6 = o.
Ces équations sont idoiticjiies; on conclut
—— abl.
L'équation générale demandée est donc
(9) (j — ^^y- + 2 ftXa; + a alj — abl —- o.
Remarque, — Donner un point et sa polaire, c'est donner dens conditions : deux points et leurs polaires respectives constituent donc quatre conditions. Ici les coniques sont de plus astreintes à être des paraboles; on donne donc en apparence cinq conditions. Il y a un nombre limité de coniques remplissant ces conditions.
Mais il est à remarquer que les points et les polaires correspondants, tels que l'énoncé les donne, ne sont pas indépendants les uns des autres.
En effet, Oy est la polaire du point A : les polaires de tous les points de Oy passent donc en A.
Quand on a choisi le point B sur Oy, il ne reste à donner, de sa polaire, que la direction, c'est-à-dire un seul élémenl, donc, en tout, trois conditions. Ce fait s'est traduit analytiqnement par l'identité des équations de condition (7)et(8}-
7- Équation générale des coniques ayant un centre donné et normales à deux droites rectangulaires données. (École Polytechnique, 1873.) Plaçons l'origine an centre fixe et prenons comme axes
de coordonnées des pamllèlos aux droites données; soient
(,} x-ar^o
les équations de ces droites.
L'équation générale des coniqnes ajunt leur centre à l'origine est
(3) >,^^ + 3,i:*rj--Hvy^^hÛ = o.
Parmi les normales issues du point A, rencontre des droites (i) el (2), à la conique (3), doivent se trouver les droites (1) et (a); or, les pieds des normales issues du point A à la conique ( i) sont sur l'hyperbole
hx + -^j.y v,.x^ Les coordonnées de ces pieds sont
Ils doivent être situés sur la conique (3); doi équations de condition
(8) >, '-^ — «vw^-S-vi^-HO — 0;
c'est-à-dire
(10) Àv^6- — v;j.-ô- + 0|-i- = o.
yGoosle
On conclut
c'est-à-dire
LVqiiation (to) |ient s'écrire
011, en posant ■ ^=: a ,
L'équation (3) devient alors
C'est l'équation générale deaiandée.
8- Dans un angle droit: xOy, on place un point fixe autour duquel on fait tourner une droite : former l'équation générale des paraboles normales àOx et à Oy, à leurs rencontres avec la droite mobile.
Soit P((T, b) le point fixe donné; l'équation générale des droites menées par ce point est
